Laplasın Dövrənə Keçirilməsi Teoremi Haqqında Başlanğıç Dəyər Teoremi

İlk dəyər teoremi, Laplas çevrilməsinin əsas xüsusiyyətlərindən biridir. Bu teoremi tanınmış fransız riyazi fizik Pierre Simon Marquis De Laplace verib. O, Newtonun çəkiliş nəzəriyyəsini tətbiq edərək planetlərin hərəkəti sahəsində mühüm töhfələr qoymuşdur. İhtimal və statistika nəzəriyyəsi sahəsindəki işi öncü kimi qiymətləndirilir və bu, yeni bir nəsli təsirləmişdir. Laplace, adı Eiffel Küləyinə qazılmaq üçün seçilmiş 72 şəxs arasındadır.
İlk dəyər teoremi və son dəyər teoremi birgə Limit Teoremleri kimi tanınırlar. İlk dəyər teoremi kimi IVT (İlk Dəyər Teoremi) adlandırılır. Bu, bizə f(t) tapmağa ehtiyac olmayan (bu, belə hallarda çox məşğul edici bir prosesdir) verilmiş Laplas çevrilmə funksiyası üçün t = (0+) zamanı ilk dəyəri tapmağa imkan verir.

İlk dəyər teoreminin mövcudluğunu təmin edən şərtlər

1. f(t) funksiyası və onun törəməsi f'(t) Laplas çevrilməyə baxılmalıdır.

2. Əgər zaman t (0+)-a yaxınlaşsa, f(t) funksiyası mövcud olmalıdır.

1. f(t) funksiyası t > 0 üçün 0-a bərabərdir və başlanğıcda yüksək dərəcəli singulyarlıqlara və impulslara malik deyil.

Laplas İlk Dəyər Teoremi

Əgər f(t) və F(s) Laplas çevrilmə cütüdür. Yəni

onda İlk dəyər teoremi aşağıdakı kimi verilir

f(t) funksiyasının Laplas çevrilməsi

onda onun törəməsinin Laplas çevrilməsi f ' (t)

Öncə inteqral hissəsinə baxaq

(2)-ni (1)-də yerinə yazanda alırıq

Hər iki tərəfdə f (0–)-ı ləğv edəndə alırıq

Bu tənliyi doğrudan yazmaq olar, amma mənim inteqralın limitlərini (0– to ∞) kimi götürməmizin məqsədi, limitlərin mənfi dəyərlərini də nəzərə alsaq, nəticənin müsbət dəyərlərə malik olmasıdır.

Qeyd:
Laplas çevrilməsi yalnız səbəblənmiş funksiyalar üçün tətbiq oluna bilir.
(3)-də (s) hər iki tərəfdə sonsuzluğa yaxınlaşdıqda

Bundan, İlk dəyər teoremi isbat olunur.

İlk Dəyər Teoreminin Tətbiqləri

Daha əvvəl dediyim kimi, ilk dəyər teoreminin məqsədi, f(t) funksiyasının ilk dəyərini, əgər onun Laplas çevrilməsi verilibsə, müəyyənləşdirə bilməkdir.
Məsələn 1 :
f (t) = 2 u (t) + 3 cost u (t) funksiyası üçün ilk dəyəri tapın.
Həll:

İlk dəyər teoremi ilə

İlk dəyər 5-ə bərabərdir.
Məsələn 2:
Çevrilmiş funksiyanın ilk dəyərini tapın

Həll:

İlk dəyər teoremi ilə