Laplace-transzformáció kezdeti érték tétel

Az eredeti érték tétel az egyik alapvető tulajdonsága a Laplace-transzformációnak. Ezt a francia matematikus fizikus, Pierre Simon Marquis De Laplace adta meg. Ő alkalmazta Newton gravitációs elméletét a bolygómozgás területén, és munkája a valószínűségszámítás és statisztika területén úttörőnek számít, ami befolyásolta a következő generációt. Laplace a 72 ember között van, akinek a neve fel van vésve az Eiffel-tornyón.
Az eredeti érték tétel és a végső érték tétel együttesen határértéktételek néven ismertek. Az eredeti érték tételt gyakran IVT-ként emlegetik. Ez lehetővé teszi, hogy megtaláljuk az f(t) transzformált függvény (Laplace) eredeti értékét t = (0+) időpillanatban, anélkül, hogy túl sokat kellene dolgoznunk az f(t) meghatározására, ami ilyen esetben kimerítő lehet.

Az eredeti érték tétel létezésének feltételei

1. Az f(t) függvény és deriváltja, f'(t), Laplace-transzformálhatók kell, hogy legyenek.

2. Ha az idő, t, tart a (0+)-hoz, akkor az f(t) függvény léteznie kell.

1. Az f(t) függvény = 0, ha t > 0, és nem tartalmaz impulzusokat vagy magasabb rendű szingularitásokat az origóban.

Az eredeti érték tétel állítása

Ha f(t) és F(s) Laplace-transzformált pár. Azaz

akkor az eredeti érték tétel a következőképpen adódik:

Az f(t) függvény Laplace-transzformáltja:

akkor az f'(t) derivált függvény Laplace-transzformáltja:

Vegyük figyelembe először az integrál részét:

(2) behelyettesítése (1)-be:

f (0–) kiejtése mindkét oldalon:

Közvetlenül leírhatjuk a fenti egyenletet, de célom a (0– to ∞) integrálási határok bevezetése, hogy a negatív határokat is figyelembe véve a pozitív értékekkel kapcsolatos eredményeket kapjuk.

Megjegyzés:
Mivel a Laplace-transzformáció csak ok-okozati függvényekre alkalmazható.
(3)-ban (s) tart a végtelenhez mindkét oldalon:

Tehát, az eredeti érték tétel igazolt.

Az eredeti érték tétel alkalmazásai

Ahogyan korábban már említettem, az eredeti érték tétel célja az, hogy meghatározza az f(t) függvény eredeti értékét, ha a Laplace-transzformáltja adott.
Példa 1:
Határozzuk meg az f(t) = 2 u(t) + 3 cos(t) u(t) függvény eredeti értékét.
Megoldás:

Az eredeti érték tétel szerint:

Az eredeti érték 5.
Példa 2:
Határozzuk meg a transzformált függvény eredeti értékét.

Megoldás:

Az eredeti érték tétel szerint:

[ahogy s → ∞, az s értékei egyre kevésbé számítanak, így az eredm