Teorema o početnoj vrednosti Laplasove transformacije

Teorema o početnoj vrednosti je jedna od osnovnih osobina Laplasove transformacije. Dala ju je istaknuti francuski matematičar i fizičar Pierre Simon Marquis De Laplace. On je dao ključne doprinose u području planetarnog kretanja primenom Njutnovog zakona gravitacije. Njegov rad u vezi teorije verovatnoće i statistike smatra se pionirskim i uticao je na celu novu generaciju matematičara. Laplace je jedan od 72 ljudi čija imena su izrezana na Eiffelovoj kuli.
Teorema o početnoj vrednosti i teorema o krajnjoj vrednosti zajedno se nazivaju graničnim teoremama. Teorema o početnoj vrednosti često se naziva IVT. Omogućava nam da pronađemo početnu vrednost u trenutku t = (0+) za datu transformisanu funkciju (Laplas) bez potrebe da radimo teško da pronađemo f(t), što je u ovom slučaju naporni proces.

Uslovi za postojanje teoreme o početnoj vrednosti

1. Funkcija f(t) i njen izvod f'(t) treba da budu Laplasovo transformabilni.

2. Ako se vreme t približava (0+), tada funkcija f(t) treba da postoji.

1. Funkcija f(t) = 0 za t > 0 i ne sadrži impulse ili više redne singularnosti na koordinatnom početku.

Izjava Teoreme o početnoj vrednosti Laplasove transformacije

Ako su f(t) i F(s) parovi Laplasove transformacije. Tj.

onda teorema o početnoj vrednosti daje

Laplasova transformacija funkcije f(t) je

onda Laplasova transformacija njegove prvog derivacije f ‘ (t) je

Razmotrimo integralni deo prvo

Zamenom (2) u (1) dobijamo

Otkidanjem f (0–) sa obe strane dobijamo

Možemo direktno napisati gornju jednačinu, ali moja intencija uzimajući granice integracije od (0– do ∞) jeste da, kako god da razmatramo negativne vrednosti granica, rezultati imaju pozitivne vrednosti.

Napomena:
Znamo takođe da se Laplasova transformacija može primeniti samo za kauzalne funkcije.
Razmatrajući (s) teži beskonačnosti sa obe strane u (3)

Stoga je teorema o početnoj vrednosti dokazana.

Primene Teoreme o početnoj vrednosti

Kao što sam ranije rekao, svrha teoreme o početnoj vrednosti jeste da se odredi početna vrednost funkcije f (t) ako je data njena Laplasova transformacija
Primer 1 :
Pronađite početnu vrednost za funkciju f (t) = 2 u (t) + 3 cos t u (t)
Rešenje:

Prema teoremi o početnoj vrednosti

Početna vrednost je 5.
Primer 2:
Pronađite početnu vrednost transformisane funkcije

Rešenje:

Prema teoremi o početnoj vrednosti

[kako s → ∞, vrednosti s postaju sve manje značajne, stoga se rezultat dobija uzimanjem omjera vode