ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้นของการแปลงลาปลาซ

ทฤษฎีค่าเริ่มต้นเป็นหนึ่งในคุณสมบัติพื้นฐานของการแปลงลาปลาซ มันถูกให้โดยนักฟิสิกส์คณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสชื่อ Pierre Simon Marquis De Laplace เขาทำผลงานสำคัญในด้านการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์โดยใช้ทฤษฎีแรงโน้มถ่วงของนิวตัน ผลงานของเขาเกี่ยวกับทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติถือว่าเป็นผู้บุกเบิกและได้สร้างแรงบันดาลใจให้แก่นักคณิตศาสตร์รุ่นใหม่ๆ ลาปลาซเป็นหนึ่งใน 72 คนที่มีชื่อจารึกบนหอไอเฟล
ทฤษฎีค่าเริ่มต้นและทฤษฎีค่าสุดท้ายถูกเรียกว่าทฤษฎีขีดจำกัด ทฤษฎีค่าเริ่มต้นมักถูกเรียกว่า IVT ซึ่งจะช่วยให้เราสามารถหาค่าเริ่มต้นที่เวลา t = (0+) สำหรับฟังก์ชันที่แปลงแล้ว (ลาปลาซ) โดยไม่ต้องทำงานหนักเพื่อหา f(t) ซึ่งเป็นกระบวนการที่ยุ่งยากในกรณีนี้

เงื่อนไขสำหรับการมีอยู่ของทฤษฎีค่าเริ่มต้น

1. ฟังก์ชัน f(t) และอนุพันธ์ f'(t) ควรสามารถแปลงเป็นลาปลาซได้

2. หากเวลา t เข้าใกล้ (0+) ฟังก์ชัน f(t) ควรมีอยู่

1. ฟังก์ชัน f(t) = 0 สำหรับ t > 0 และไม่มีแรงกระแทกหรือภาวะเอกฐานระดับสูงที่จุดกำเนิด

คำกล่าวของทฤษฎีค่าเริ่มต้นของลาปลาซ

หาก f(t) และ F(s) เป็นคู่ของการแปลงลาปลาซ คือ

จากนั้นทฤษฎีค่าเริ่มต้นจะกำหนดโดย

การแปลงลาปลาซของฟังก์ชัน f(t) คือ

จากนั้นการแปลงลาปลาซของอนุพันธ์ f ‘ (t) คือ

พิจารณาส่วนปริพันธ์ก่อน

แทน (2) ใน (1) เราจะได้

เมื่อลบ f (0–) ทั้งสองข้างเราจะได้

เราสามารถเขียนสมการข้างต้นได้เลย แต่เจตนาในการเลือกขอบเขตการอินทิเกรตจาก (0– ถึง ∞) คือแม้ว่าเราจะพิจารณาค่าลบของขอบเขต ผลลัพธ์ที่ได้จะมีค่าบวก

หมายเหตุ:
เรายังทราบว่าการแปลงลาปลาซสามารถใช้ได้เฉพาะกับฟังก์ชันเชิงเหตุเท่านั้น
เมื่อพิจารณา (s) เข้าใกล้อนันต์ทั้งสองข้างใน (3)

ดังนั้น ทฤษฎีค่าเริ่มต้นได้รับการพิสูจน์แล้ว

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีค่าเริ่มต้น

ตามที่ผมได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้วัตถุประสงค์ของทฤษฎีค่าเริ่มต้นคือการกำหนดค่าเริ่มต้นของฟังก์ชัน f (t) ที่ให้การแปลงลาปลาซ
ตัวอย่าง 1 :
หาค่าเริ่มต้นของฟังก์ชัน f (t) = 2 u (t) + 3 cos t u (t)
วิธีทำ:

โดยทฤษฎีค่าเริ่มต้น

ค่าเริ่มต้นคือ 5
ตัวอย่าง 2:
หาค่าเริ่มต้นของฟังก์ชันที่แปลงแล้ว

วิธีทำ:

โดยทฤษฎีค่าเริ่มต้น