Theorema valoris initialis transformationis Laplace

Theorema de valore initiale est unum ex proprietatibus basicis transformationis Laplace. A Mathematico Physico Francogallico celebri Pierre Simon Marquis De Laplace datum est. Cruciales contributiones in area motus planetarii facit, Newtonianam theoriam gravitationis applicans. Opus eius circa theoria probabilitatis et statisticas ut pionierum consideratur, et hoc generationem novam mathematicorum influens. Laplace inter septuaginta duos homines, quorum nomina in turrim Eiffel insculpta sunt, numeratur.
Theorema de valore initiale et theorema de valore finali simul vocantur theorema limitativa. Theorema de valore initiale saepe IVT nominatur. Hoc nobis permittet invenire valorem initiale tempore t = (0+) pro functione data (Laplace) sine necessitate laborare durius ad f(t) inveniendam, quod processus tediosus in talibus casibus est.

Conditiones pro existentia theorema de valore initiale

1. Functio f(t) et eius derivata f'(t) debent transformabiles Laplace esse.

2. Si tempus t ad (0+) appropinquet, functio f(t) debet existere.

1. Functio f(t) = 0 pro t > 0 et nullas impulsus vel singularitates ordinis superioris in origine continet.

Enuntiatio theorema de valore initiale Laplace

Si f(t) et F(s) sunt pares transformationis Laplace. i.e

tunc theorema de valore initiale datur per

Transformata Laplace functionis f(t) est

tunc transformata Laplace eius derivatae f'(t) est

Considera partem integralis primo

Substituendo (2) in (1) habemus

Cancellando f (0–) in utraque parte habemus

Possumus directe scribere hanc aequationem, sed intentio mea sumendi limites integrationis ab (0– ad ∞) est, quod quamvis valores limitum negativos consideremus, pertinet ad resultatum valores positivos habentem.

Nota:
Scimus etiam transformationem Laplace tantum pro functionibus causalibus esse applicabilem.
Considerando (s) tendit ad infinitum in utraque parte in (3)

Itaque, theorema de valore initiale probatum est.

Applicationes theorema de valore initiale

Ut iam dixi, scopus theorema de valore initiale est determinare valorem initiale functionis f (t) si data est eius transformata Laplace
Exemplum 1 :
Inveni valorem initiale pro functione f (t) = 2 u (t) + 3 cos t u (t)
Sol:

Per theorema de valore initiale

Valorem initiale 5 dat.
Exemplum 2:
Inveni valorem initiale functionis transformatae

Sol:

Per theorema de valore initiale

[cum s → ∞, valores s magis et magis insignificantes fiunt, itaque resultatum obtinemus simpliciter capiendo rationem coefficientium principiarum]