Teorema tal-Valur Inizjali tat-Trasformazzjoni ta' Laplace

Il-Teorema tal-Valur Inizjali huwa waħda mill-proprjetajjiet basilijarji tal-transformazzjoni ta' Laplace. Dan ġie mmexxi mill-fiziku u matematiku Franċiż Pierre Simon Marquis De Laplace. Huwa sseb l-kontributi kruċjali f'dan il-qasam ta' moġod il-pjaneti b'applikazzjoni tas-teorija ta' Gravità ta' Newton. L-għadd tagħu dwar it-teorija tal-probabbiltà u statistika huwa konsidrat revoluzzjonarju u dan influenzaw ġenerazzjoni ġdida ta' matematiki. Laplace huwa waħed minn 72 persuna li għandhom isemhom inkisb fuq it-Torri Eiffel.
Il-Teorema tal-Valur Inizjali u l-Teorema tal-Valur Finali huma miftuħin b'mod kollettiv bħala Teoremi Limitanti. Il-Teorema tal-Valur Inizjali huwa sovent riferit bħala IVT. Huwa jgħinilna ninsab il-valur inizjali fil-ħin t = (0+) għal funzjoni transformata (laplace) data mingħajr ma nixtieq naqbil xejn biex ninsab f(t) li huwa pruċess tedjuż fl-kaz.

Kondizzjonijiet għall-egżistenza tal-Teorema tal-Valur Inizjali

1. Il-funzjoni f(t) u d-derivata tagħha f'(t) għandhom ikunu transformabili ta' Laplace.

2. Jekk il-ħin t approċċja (0+) allura l-funzjoni f(t) għandha tkun eżistenti.

1. Il-funzjoni f(t) = 0 għal t > 0 u ma tgħaddix impulsijiet jew singularità ta' ordniġġjar magħluq fil-ewwel.

Teorema tal-Valur Inizjali tas-Transformazzjoni ta' Laplace

Jekk f(t) u F(s) huma pereċ Laplace. i.e

allura it-Teorema tal-Valur Inizjali jikkonsisti f'

It-Transformazzjoni ta' Laplace ta' funzjoni f(t) hi

allura it-Transformazzjoni ta' Laplace tad-derivata f '(t) hi

Ikkunsidera l-parti integrali qabel

B'sostituzzjoni (2) fi (1) nitqiegħu

Fis-silġ ta' f (0–) fuq siddejjef nitqiegħu

Nistgħu niktibu l-equazzjoni fuq direttament, imma l-intenzzjoni tiegħi għall-limits ta' integrazzjoni minn (0– sa ∞) hija li kif nkunsidraw valuri negattivi tal-limits, ir-riżultati huma positivi.

Nota:
Nsibnu wkoll li t-Transformazzjoni ta' Laplace hija applikabbli biss għal funzjonijiet każali.
Jekk nsibnu (s) tendi lejn l-infinit fit-tnejn tfittxija (3)

Għalhekk, it-Teorema tal-Valur Inizjali hija provata.

Aplikazzjonijiet tal-Teorema tal-Valur Inizjali

Kif qolt qabel, l-scop tal-Teorema tal-Valur Inizjali huwa li jiddetermina l-valur inizjali tal-funzjoni f (t) jekk jingħaqad it-Transformazzjoni ta' Laplace tagħha
Esempju 1 :
Sib il-valur inizjali għal il-funzjoni f (t) = 2 u (t) + 3 cost u (t)
Sol:

Skont it-Teorema tal-Valur Inizjali

Il-valur inizjali huwa 5.
Esempju 2:
Sib il-valur inizjali tal-funzjoni transformata

Sol:

Skont it-Teorema tal-Valur Inizjali