Teorema Nilai Awal Transformasi Laplace

Teorema Nilai Awal adalah salah satu sifat dasar dari transformasi Laplace. Teorema ini diberikan oleh Fisikawan Matematika Prancis terkemuka Pierre Simon Marquis De Laplace. Ia memberikan kontribusi penting dalam bidang gerakan planet dengan menerapkan teori Gravitasi Newton. Karyanya mengenai teori probabilitas dan statistik dianggap sebagai pionir dan telah mempengaruhi generasi baru matematikawan. Laplace termasuk dalam 72 orang yang namanya diukir pada Menara Eiffel.
Teorema Nilai Awal dan Teorema Nilai Akhir bersama-sama disebut sebagai Teorema Limit. Teorema Nilai Awal sering disebut sebagai IVT. Ini akan memungkinkan kita untuk menemukan nilai awal pada waktu t = (0+) untuk fungsi transformasi (Laplace) yang diberikan tanpa harus bekerja keras untuk menemukan f(t) yang merupakan proses yang melelahkan dalam kasus tersebut.

Syarat-syarat untuk keberadaan Teorema Nilai Awal

1. Fungsi f(t) dan turunannya f'(t) harus dapat ditransformasi Laplace.

2. Jika waktu t mendekati (0+) maka fungsi f(t) harus ada.

1. Fungsi f(t) = 0 untuk t > 0 dan tidak mengandung impuls atau singularitas orde tinggi di asal.

Pernyataan Teorema Nilai Awal Transformasi Laplace

Jika f(t) dan F(s) adalah pasangan transformasi Laplace. yaitu

maka teorema nilai awal diberikan oleh

Transformasi Laplace dari fungsi f(t) adalah

maka transformasi Laplace dari turunannya f '(t) adalah

Pertimbangkan bagian integralnya terlebih dahulu

Dengan mensubstitusikan (2) ke (1) kita mendapatkan

Setelah membatalkan f (0–) di kedua sisi kita mendapatkan

Kita bisa langsung menulis persamaan di atas tetapi tujuan saya dalam mengambil batas integrasi dari (0– hingga ∞) adalah bahwa meskipun kita mempertimbangkan nilai negatif dari batas, hasilnya tetap memiliki nilai positif.

Catatan:
Kita juga tahu bahwa transformasi Laplace hanya berlaku untuk fungsi kausal.
Dengan mempertimbangkan (s) menuju tak hingga di kedua sisi dalam (3)

Oleh karena itu, teorema nilai awal terbukti.

Aplikasi Teorema Nilai Awal

Seperti yang saya katakan sebelumnya, tujuan teorema nilai awal adalah untuk menentukan nilai awal fungsi f (t) jika transformasi Laplace-nya diberikan
Contoh 1 :
Cari nilai awal untuk fungsi f (t) = 2 u (t) + 3 cost u (t)
Sol:

Menurut teorema nilai awal

Nilai awal diberikan oleh 5.
Contoh 2:
Cari nilai awal dari fungsi yang ditransformasi

Sol:

Menurut teorema nilai awal

[sebagai s → ∞ nilai s menjadi semakin tidak signifikan sehingga hasilnya diperoleh dengan hanya mengambil rasio koefisien utama]