Počáteční věta Laplaceovy transformace

Věta o počáteční hodnotě je jednou z základních vlastností Laplaceovy transformace. Byla formulována prominentním francouzským matematickým fyzikem Pierrrem Simonem Marquisem de Laplace. Přinesl klíčové příspěvky v oblasti pohybu planet aplikací Newtonovy teorie gravitace. Jeho práce týkající se teorie pravděpodobnosti a statistiky je považována za průkopnickou a ovlivnila celou novou generaci matematiků. Laplace je jedním z 72 lidí, jejichž jméno je vyryto na Eiffelovu věž.
Věta o počáteční hodnotě a věta o konečné hodnotě jsou společně nazývány jako limitní věty. Věta o počáteční hodnotě je často označována jako IVT. Umožní nám najít počáteční hodnotu v čase t = (0+) pro danou transformovanou funkci (Laplace) bez nutnosti pracovat tvrdě na nalezení f(t), což je v takovém případě náročný proces.

Podmínky existence věty o počáteční hodnotě

1. Funkce f(t) a její derivace f'(t) by měly být Laplaceovsky transformovatelné.

2. Pokud se čas t blíží k (0+), pak by měla existovat funkce f(t).

1. Funkce f(t) = 0 pro t > 0 a neobsahuje žádné impulzy nebo vyšší řády singularity v počátku.

Formulace věty o počáteční hodnotě Laplaceovy transformace

Pokud jsou f(t) a F(s) páry Laplaceovy transformace. Tedy

pak věta o počáteční hodnotě je dána vztahem

Laplaceova transformace funkce f(t) je

pak Laplaceova transformace její derivace f'(t) je

Zvažme nejprve integrální část

Dosazením (2) do (1) dostaneme

Po zrušení f (0–) na obou stranách dostaneme

Můžeme rovnou napsat výše uvedenou rovnici, ale mým záměrem při volbě mezí integrace od (0– do ∞) je, že i když bereme v úvahu záporné hodnoty mezí, výsledky mají kladné hodnoty.

Poznámka:
Laplaceova transformace je použitelná pouze pro kauzální funkce.
Při zvažování, že (s) se blíží k nekonečnu na obou stranách v (3)

Tedy, věta o počáteční hodnotě je dokázána.

Aplikace věty o počáteční hodnotě

Jak jsem řekl dříve, cílem věty o počáteční hodnotě je určit počáteční hodnotu funkce f(t), pokud je dán její Laplaceův obraz
Příklad 1 :
Najděte počáteční hodnotu pro funkci f(t) = 2 u(t) + 3 cos(t) u(t)
Řešení:

Podle věty o počáteční hodnotě

Počáteční hodnota je dána 5.
Příklad 2:
Najděte počáteční hodnotu transformované funkce

Řešení:

Podle věty o počáteční hodnotě