Laplace-muunnoksen alkuarvoperiaate

Alkuperäarvolausetta kutsutaan myös Laplacen muunnoksen perusominaisuudeksi. Se on annettu tunnetun ranskalaisen matemaattisen fysiikan Pierre Simon Marquis De Laplacen toimesta. Hän teki merkittäviä panoksia planeettojen liikkeiden alalla soveltamalla Newtonin painovoiman teoriaa. Hänen todennäköisyys- ja tilastotieteen teoriastaan on pidetty edistävänä ja se on vaikuttanut koko uuteen matemaatikkojen sukupolveen. Laplace on yksi 72:n henkilön joukosta, joiden nimi on kirjoitettu Eiffel-tornille. Alkuperäarvolausetta ja loppuarvolausetta kutsutaan yhdessä rajalausiksi. Alkuperäarvolausetta kutsutaan usein IVT:ksi. Se mahdollistaa meille alkuperäarvon löytämisen ajassa t = (0+) annetulle muunnokselle (Laplacen) ilman, että meidän tarvitsee työskennellä kovasti löytääksemme f(t), mikä on tällaisessa tapauksessa työlästä prosessia.

Alkuperäarvolausetta koskevat oletukset

1. Funktio f(t) ja sen derivaatta f'(t) pitäisi olla Laplacen-muunnoksesta.

2. Jos aika t lähestyy (0+), funktio f(t) pitäisi olemassa.

1. Funktio f(t) = 0, kun t > 0, eikä sisällä impulssia tai korkeampia singulaarisuuksia origossa.

Laplacen alkuperäarvolause

Jos f(t) ja F(s) ovat Laplacen muunnospareja. Tällöin

alkuperäarvolausetta voidaan esittää seuraavasti

Funktion f(t) Laplacen muunnos on

silloin sen derivaatan f'(t) Laplacen muunnos on

Harkitse integraaliosaa ensin

Sijoitetaan (2) (1):n paikalle saadaan

Kun poistetaan f (0–) molemmilta puolilta, saadaan

Voimme suoraan kirjoittaa yllä olevan yhtälön, mutta minun tarkoitukseni on ottaa integrointirajat (0– ∞) niin, että negatiiviset arvot huomioidaan, mutta tulokset ovat positiivisia.

Huomautus:
Tiedämme, että Laplacen muunnos on sovellettavissa vain kausaalifunktioille.
Kun (s) lähestyy ääretöntä molemmilla puolilla (3):ssa

Näin ollen alkuperäarvolausetta on todistettu.

Alkuperäarvolausetta koskevia sovelluksia

Kuten aiemmin sanoin, alkuperäarvolausetta käytetään funktion f(t) alkuperäarvon määrittämiseen, jos sen Laplacen muunnos on annettu.
Esimerkki 1 :
Etsi alkuperäarvo funktiolle f(t) = 2u(t) + 3cos(t)u(t)
Ratkaisu:

Alkuperäarvolausetta soveltaen

Alkuperäarvo on 5.
Esimerkki 2:
Etsi alkuperäarvo muunnettulle funktiolle

Ratkaisu:

Alkuperäarvolausetta soveltaen

[kun s → ∞, s:n arvot tulevat entistä vähemmäksi merkityksellisiksi, joten tulos saadaan ottamalla johtavan kertoimen suhde]