Teorem Nilai Awal Transformasi Laplace

Teorem Nilai Awal adalah salah satu sifat asas transformasi Laplace. Ia diberikan oleh ahli matematik fizik Perancis yang terkenal, Pierre Simon Marquis De Laplace. Beliau memberi sumbangan penting dalam bidang pergerakan planet dengan menerapkan teori Graviti Newton. Kerjanya mengenai teori kebarangkalian dan statistik dianggap sebagai pelopor dan ini mempengaruhi seluruh generasi baru ahli matematik. Laplace adalah salah seorang daripada 72 orang yang namanya dipahat pada Menara Eiffel.
Teorem Nilai Awal dan Teorem Nilai Akhir bersama-sama dipanggil sebagai Teorem Had. Teorem Nilai Awal sering dirujuk sebagai IVT. Ia akan membolehkan kita mencari nilai awal pada masa t = (0+) untuk fungsi transformasi (laplace) yang diberikan tanpa perlu bekerja keras untuk mencari f(t) yang merupakan proses yang melelahkan dalam kes seperti ini.

Syarat-syarat untuk kewujudan Teorem Nilai Awal

1. Fungsi f(t) dan turunannya f'(t) harus dapat ditransformasikan Laplace.

2. Jika masa t mendekati (0+) maka fungsi f(t) harus wujud.

1. Fungsi f(t) = 0 untuk t > 0 dan tidak mengandungi impuls atau singulariti tingkat tinggi di asal.

Pernyataan Teorem Nilai Awal Transformasi Laplace

Jika f(t) dan F(s) adalah pasangan transformasi Laplace. iaitu

maka teorem nilai awal diberikan oleh

Transformasi Laplace bagi fungsi f(t) adalah

maka transformasi Laplace bagi turunannya f ‘ (t) adalah

Pertimbangkan bahagian integral terlebih dahulu

Dengan menggantikan (2) ke dalam (1) kita dapat

Dengan membatalkan f (0–) di kedua-dua belah pihak kita dapat

Kita boleh menulis persamaan di atas secara langsung tetapi tujuan saya mengambil had integrasi dari (0– hingga ∞) adalah walaupun kita mempertimbangkan nilai negatif hadnya, ia merujuk kepada hasil yang mempunyai nilai positif.

Nota:
Kita juga tahu bahawa transformasi Laplace hanya boleh digunakan untuk fungsi-fungsi causal.
Dengan mempertimbangkan (s) cenderung kepada ketakterhinggaan di kedua-dua belah pihak dalam (3)

Oleh itu, teorem nilai awal telah dibuktikan.

Aplikasi Teorem Nilai Awal

Seperti yang saya katakan sebelumnya, tujuan teorem nilai awal adalah untuk menentukan nilai awal fungsi f (t) apabila transformasi Laplace diberikan
Contoh 1 :
Cari nilai awal untuk fungsi f (t) = 2 u (t) + 3 cost u (t)
Sol:

Dengan teorem nilai awal

Nilai awal diberikan oleh 5.
Contoh 2:
Cari nilai awal fungsi yang ditransformasikan

Sol:

Dengan teorem nilai awal

[sebagai s → ∞ nilai-nilai s menjadi semakin tidak signifikan sehingga hasil diperoleh dengan hanya mengambil nisbah pekali utama]