Laplace pārveidojuma sākuma vērtības teorēma
Sākuma vērtības teorēma ir viena no pamatīpašībām Laplace pārveidojuma. To piedāvāja slavenais franču matemātiskais fiziķis Pierre Simon Marquis De Laplace. Viņš veica būtiskus ieguldījumus planētu kustības jomā, pielietojot Newtona gravitācijas teoriju. Viņa darbs par varbūtības un statistikas teoriju tiek uzskatīts par pionierisko, un tas ietekmēja veselu jaunu matemātiķu paaudzi. Laplace ir viens no 72 cilvēkiem, kuru vārdi ir izgriezti Eifel tornī.
Sākuma vērtības teorēma un beigu vērtības teorēma kopā tiek sauktas par robežteorēmām. Sākuma vērtības teorēmu bieži sauc arī kā IVT. Tā ļaus mums atrast sākuma vērtību laikā t = (0+) dotajai transformētajai funkcijai (Laplace) bez nepieciešamības smagi strādāt, lai atrastu f(t), kas šādos gadījumos ir ilgstošs process.
Sākuma vērtības teorēmas eksistences nosacījumi
Funkcija f(t) un tās atvasinājums f'(t) jābūt Laplace pārveidojamam.
Ja laiks t pieaug līdz (0+), tad funkcija f(t) jāeksistē.
Funkcija f(t) = 0, ja t > 0, un tai nav impulsu vai augstākas kārtas singuliāritātes izcelsmē.
Sākuma vērtības teorēmas formulējums
Ja f(t) un F(s) ir Laplace pārveidojuma pāri. t.i
tad sākuma vērtības teorēma ir dota ar
Laplace pārveidojums no funkcijas f(t) ir
tad Laplace pārveidojums no tās atvasinājuma f ‘ (t) ir
Apcerēsim integrāla daļu pirmo
Ievietojot (2) (1) mēs iegūstam
Atcelot f (0–) abās pusēs mēs iegūstam
Mēs varētu tieši rakstīt šo vienādojumu, bet mans nodoms, ņemot integrācijas robežas no (0– līdz ∞), ir, ka, pat ņemot vērā negatīvās robežas vērtības, rezultāts ir ar pozitīvām vērtībām.
Piezīme:
Mēs zinām, ka Laplace pārveidojums ir piemērojams tikai kauzālām funkcijām.
Ņemot vērā, ka (s) tendē pretī bezgalībai abās pusēs (3)
Tātad, sākuma vērtības teorēma ir pierādīta.
Sākuma vērtības teorēmas lietojums
Kā es jau iepriekš minēju, sākuma vērtības teorēmas mērķis ir noteikt funkcijas f (t) sākuma vērtību, ja tās Laplace pārveidojums ir dots
Piemērs 1 :
Aprēķināt sākuma vērtību funkcijai f (t) = 2 u (t) + 3 cost u (t)
Sol:
Pēc sākuma vērtības teorēmas
Sākuma vērtība ir 5.
Piemērs 2:
Aprēķināt sākuma vērtību transformētajai funkcijai
Sol:
Pēc sākuma vērtības teorēmas
