Pangunahing Teorama ng Transformasyon ni Laplace

Ang Teorema ng Initial Value ay isa sa mga pangunahing katangian ng Laplace transform. Ito ay ibinigay ng kilalang Pranses na Matematikal na Pisiko na si Pierre Simon Marquis De Laplace. Siya ay nagbigay ng mahalagang kontribusyon sa larangan ng paggalaw ng planeta sa pamamagitan ng pag-apply ng teorya ng Gravitation ni Newton. Ang kanyang gawa tungkol sa teorya ng probability at statistics ay itinuturing na pionero at ito ay naimpluwensyahan ang isang bagong henerasyon ng Matematiko. Si Laplace ay isa sa 72 tao na may kanilang pangalan na inilagay sa Eiffel Tower.
Ang Teorema ng Initial value at Final value ay kasama tinatawag na Limiting Theorems. Ang Teorema ng Initial value ay karaniwang tinatawag bilang IVT. Ito ay magbibigay-daan sa amin na makahanap ng initial value sa oras t = (0+) para sa isang ibinigay na transformed function (laplace) nang hindi kailangang magtrabaho nang mas mahirap upang makahanap ng f(t) na isang mapagod na proseso sa ganitong kaso.

Mga kondisyon para sa pagkakaroon ng Teorema ng Initial value

1. Ang function f(t) at ang kanyang derivative f(t) ay dapat Laplace transformable.

2. Kung ang oras t lumapit sa (0+) ang function f(t) ay dapat umiiral.

1. Ang function f(t) = 0 para sa t > 0 at walang impulses o mas mataas na order ng singularities sa origin.

Pahayag ng Teorema ng Initial Value ng Laplace

Kung ang f(t) at F(s) ay Laplace transform pairs. i.e

ang Teorema ng Initial value ay ibinibigay ng

Ang Laplace transform ng isang function f(t) ay

ang Laplace transform ng kanyang derivative f ‘ (t) ay

Isaalang-alang ang integral part muna

Sa pamamagitan ng pag-substitute ng (2) sa (1) makukuha natin

Sa pamamagitan ng pag-cancel ng f (0–) sa parehong panig makukuha natin

Maaari nating direktang isulat ang itaas na ekwasyon ngunit ang aking intensyon sa pag-consider ng mga hangganan ng integration mula (0– hanggang ∞) ay na kahit pa kaming consider ang mga negatibong halaga ng mga hangganan ito ay tumutukoy sa mga resulta na may positibong halaga.

Pansin:
Alam din natin na ang Laplace transform ay applicable lamang para sa mga causal functions.
Sa pag-consider ng (s) na lumalapit sa infinity sa parehong panig sa (3)

Kaya, napapatunayan ang Teorema ng Initial value.

Mga Application ng Teorema ng Initial Value

Tulad ng sinabi ko na ang layunin ng Teorema ng Initial value ay upang matukoy ang initial value ng function f (t) na ibinigay ang kanyang Laplace transform
Halimbawa 1 :
Hahanapin ang initial value para sa function f (t) = 2 u (t) + 3 cost u (t)
Sol:

Sa pamamagitan ng Teorema ng Initial value

Ang initial value ay ibinibigay ng 5.
Halimbawa 2:
Hanapin ang initial value ng transformed function

Sol:

Sa pamamagitan ng Teorema ng Initial value

[kung s → ∞ ang mga halaga ng s ay naging mas at mas insignificant kaya ang resulta ay nakuhang simpleng pagkuha ng ratio ng leading co-efficient]