Initialverdis-teoremet for Laplace-transformasjon

Setningsverditeoremet er en av de grunnleggende egenskapene til Laplace-transformasjonen. Det ble gitt av den fremstående franske matematiske fysikeren Pierre Simon Marquis De Laplace. Han bidro vesentlig innen planetbevegelse ved å anvende Newtons gravitasjonsteori. Hans arbeid med sannsynlighets- og statistikkteori regnes som pionerende og dette påvirket en helt ny generasjon av matematikere. Laplace er en av 72 personer som har sitt navn inngått på Eiffeltårnet.
Setningsverditeoremet og slutningsverditeoremet kalles sammen for grenseteoremene. Setningsverditeoremet refereres ofte som IVT. Det vil gjøre det mulig for oss å finne den opprinnelige verdien ved tiden t = (0+) for en gitt transformert funksjon (Laplace) uten at vi må jobbe hardt for å finne f(t), som er en krevende prosess i slike tilfeller.

Betingelser for eksistensen av setningsverditeoremet

1. Funksjonen f(t) og dens deriverte f'(t) skal være Laplace-transformerbare.

2. Hvis tiden t nærmer seg (0+) skal funksjonen f(t) eksistere.

1. Funksjonen f(t) = 0 for t > 0 og inneholder ingen impulser eller høyere ordens singulariteter ved origo.

Setningsverditeoremet for Laplace-transformasjonen

Hvis f(t) og F(s) er Laplace-transformasjonspar. dvs

da er setningsverditeoremet gitt ved

Laplace-transformasjonen av en funksjon f(t) er

da er Laplace-transformasjonen av dens deriverte f'(t) gitt ved

La oss først betrakte integralet

Ved å substituere (2) i (1) får vi

Ved å kansellere f (0–) på begge sider får vi

Vi kan rettferdig skrive den ovennevnte ligningen, men min intensjon med å ta integrasjonsgrensene fra (0– til ∞) er at uansett hvordan vi vurderer negative verdier av grensene, så gjelder resultatene positive verdier.

Merk:
Laplace-transformasjonen er kun gyldig for kausale funksjoner.
Ved å betrakte (s) som nærmer seg uendelig på begge sider i (3)

Dermed er setningsverditeoremet bevist.

Anvendelser av setningsverditeoremet

Som jeg sa tidligere, er formålet med setningsverditeoremet å bestemme den opprinnelige verdien av funksjonen f (t) hvis Laplace-transformasjonen er gitt
Eksempel 1 :
Finn den opprinnelige verdien for funksjonen f (t) = 2 u (t) + 3 cost u (t)
Løsning:

Ifølge setningsverditeoremet

Den opprinnelige verdien er gitt som 5.
Eksempel 2:
Finn den opprinnelige verdien av den transformerte funksjonen

Løsning:

Ifølge setningsverditeoremet

[som s → ∞ blir verdiene av s mer og mer ubetydelige, derfor blir resultatet oppnådd ved bare å ta forholdet mellom ledende koeffisienter]