Լապլասի ձևափոխման սկզբնական արժեքի թեորեմը

Սկզբնական արժեքի թեորեմը լապլասյան ձևափոխության հիմնական հատկություններից է մեկը։ Այն տվել է հայտնի ֆրանսիացի մաթեմատիկական ֆիզիկոս Պիեռ Սիմոն Մարկիս դե Լապլասը։ Նա կարևոր ներդրում է ունեցել գրավիտացիոն տեսության կիրառմամբ մոլորակային շարժումների ոլորտում։ Նրա աշխատանքը հավանականության և վիճակագրության տեսության մեջ համարվում է նախագծող, և դա ազդել է նոր սերունդի մաթեմատիկոսների վրա։ Լապլասը էֆելյան 塔回答中断，继续翻译： ```html

1. Ֆունկցիան f(t) և դրա ածանցյալը f'(t) պետք է լապլասյան ձևափոխելի լինեն:

2. Եթե ժամանակը t մոտենում է (0+), ապա ֆունկցիան f(t) պետք է գոյություն ունենա:

1. Ֆունկցիան f(t) = 0 երբ t > 0 և չի պարունակում իմպուլսներ կամ բարձր կարգի սինգուլյարություններ սկզբնակետում:

Լապլասի Սկզբնական Արժեքի Թեորեմը

Եթե f(t) և F(s) լապլասյան ձևափոխության զույգ են, այսինքն

ապա սկզբնական արժեքի թեորեմը տրվում է հետևյալ կերպ

Ֆունկցիայի f(t) լապլասյան ձևափոխությունը է

ապա դրա ածանցյալի f'(t) լապլասյան ձևափոխությունը է

Դիտարկենք ինտեգրալի մասը առաջինը

(2)-ը տեղադրելով (1)-ում ստանում ենք

f(0-) հավասարումը երկու կողմերում կրճատելով ստանում ենք

Մենք կարող ենք անմիջապես գրել վերը նշված հավասարումը, սակայն իմ նպատակը ինտեգրման սահմանները վերցնել է (0- մինչև ∞), որովհետև ինչպես էլ դիտարկենք սահմանների բացասական արժեքները, արդյունքները դրական արժեքներ ունենում են:

Նշում։
Մենք նաև գիտենք, որ լապլասյան ձևափոխությունը կիրառելի է միայն կաուսալ ֆունկցիաների համար:
(s) հասնելով անվերջության երկու կողմերում (3)-ում

Հետևաբար, սկզբնական արժեքի թեորեմը ապացուցված է:

Սկզբնական Արժեքի Թեորեմի Կիրառությունները

Ինչպես նախորդում ես ասել, սկզբնական արժեքի թեորեմի նպատակն է որոշել ֆունկցիայի f(t) սկզբնական արժեքը, եթե նրա լապլասյան ձևափոխությունը տրված է:
Օրինակ 1:
Գտնել ֆունկցիայի f(t) = 2u(t) + 3cos(t)u(t) սկզբնական արժեքը:
Լուծում։

Սկզբնական արժեքի թեորեմով

Սկզբնական արժեքը 5 է:
Օրինակ 2:
Գտնել ձևափոխված ֆունկցիայի սկզբնական արժեքը

Լուծում։

Սկզբնական արժեքի թեորեմով