Laplaceen Transformazioaren Balio Hasierako Teorema

Hasiera Balioaren Teorema Laplaceren bihurketa baten oinarrizko ezaugarrietako bat da. Pierre Simon Marquis De Laplace frantziar matematikari fisikariak eman zuen. Newtonen grabitazio teoria aplikatu zion planetaren mugimenduan eta lan garrantzitsuak egin ditu probabilitate eta estatistika teorian, matematikariek eragin handia izan dutena. Laplace Eiffel Torreko 72 pertsonetako bat da, bere izena grabatuta dagoena.
Hasiera balioaren teorema eta amaierako balioaren teorema limite-teoremen bitarteko deitu behar dira. Hasiera balioaren teorema hainbat aldiz IVT bezala adierazita dago. Kalkulatzeko f(t) funtzioa lortzea lan asko eskatzen duenean, t = (0+) puntuan hasiera balioa lortzeko bide bat emango digu.

Hasiera balioaren teoremaren existentziarako baldintzak

1. f(t) funtzioa eta bere deribatu f'(t) Laplaceren bihurketagarriak izan behar dira.

2. Denbora t (0+) luzeenera doanean, f(t) funtzioa existitu behar du.

1. f(t) funtzioa 0 balio du t > 0 denean eta jatorrian impulsu edo ordena handiko singularitateak ez ditu.

Laplaceren Hasiera Balioaren Teorema Eskatua

f(t) eta F(s) Laplaceren bihurketa pare bat direnean. Honek esan nahi du

orduan hasiera balioaren teorema honakoa da

f(t) funtzioaren Laplaceren bihurketa da

orain f ' (t) deribatuaren Laplaceren bihurketa da

Lehenengo integrala kontsideratuko dugu

(2) ordezkatuz (1)an honakoa lortzen dugu

f (0–) bi aldeetan kenduta honakoa lortzen dugu

Ekuazio hori zuzenean idatzi dezakegu, baina integrazio muga (0– to ∞) hartzearen arrazoia da, negatibo balioekin ere positibo balioak lortzen direla.

Oharra:
Laplaceren bihurketa kausal funtzioetan bakarrik aplikagarria da.
(s) infinitura doanean (3)an

Beraz, hasiera balioaren teorema frogatua da.

Hasiera Balioaren Teoremaren Aplikazioak

Aurrekoan esan bezala, hasiera balioaren teoremaren helburua f (t) funtzioaren hasiera balioa lortzea da, bere Laplaceren bihurketa emanda
Adibidea 1 :
f (t) = 2 u (t) + 3 cost u (t) funtzioaren hasiera balioa aurkitu
Sol:

Hasiera balioaren teoreman

Hasiera balioa 5 da.
Adibidea 2:
Bihurtutako funtzioaren hasiera balioa aurkitu

Sol:

Hasiera balioaren teoreman

[s → ∞ doanean, s-ren balioak gehiegi ezberdinak direnez, emaitza lehengoko koefizienteen arteko erlazioa hartuz lortzen da]