ლაპლასის ტრანსფორმაციის დაწყების შეთავაზების თეორემა

შესაწყისი მნიშვნელობის თეორემა არის ლაპლასის ტრანსფორმის საფუძველი თვისებებიდან ერთ-ერთი. ის დაიგცევით ფრანგი მათემატიკოსი პიერ სიმონ მარკიზ დე ლაპლასის მიერ. მან შეიტანა განახლებული შემოქმედება პლანეტური მოძრაობის სფეროში ნიუტონის გრავიტაციის თეორიის გამოყენებით. მისი თეორია ალბათობისა და სტატისტიკის სფეროში არის რევოლუციური და ეს შეიძლება გაუხადოს ახალი მათემატიკოსების გენერაცია. ლაპლასი არის ეიფელის ტურმაში ჩაწერილი 72 ადამიანიდან ერთ-ერთი. შესაწყისი მნიშვნელობის თეორემა და ბოლო მნიშვნელობის თეორემა ერთად ცნობილია როგორც ლიმიტური თეორემები. შესაწყისი მნიშვნელობის თეორემა ხშირად უწოდებენ IVT-ს. ეს განვითარებით ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ შესაწყისი მნიშვნელობა t = (0+) დროით მოცემული ტრანსფორმირებული ფუნქციისთვის (ლაპლასი) რადგან საჭიროა უფრო ძალიან დავუშვით შრომა f(t)-ს პოვნას, რაც ასეთ შემთხვევაში ძალიან რთული პროცესია.

შესაწყისი მნიშვნელობის თეორემის არსებობის პირობები

1. ფუნქცია f(t) და მისი წარმოებული f'(t) უნდა იყოს ლაპლასის ტრანსფორმირებადი.

2. თუ დრო t მიისწრაფვის (0+)-ს, მაშინ ფუნქცია f(t) უნდა არსებობდეს.

1. ფუნქცია f(t) = 0 თუ t > 0 და არ შეიცავს იმპულსებს ან უფრო მაღალი რიგის სინგულარობებს წარმოებულში.

შესაწყისი მნიშვნელობის თეორემის განცხადება

თუ f(t) და F(s) არის ლაპლასის ტრანსფორმირებული წყვილები. რაც ნიშნავს

მაშინ შესაწყისი მნიშვნელობის თეორემა შეიძლება გამოითვალოს შემდეგნაირად

ფუნქციის f(t) ლაპლასის ტრანსფორმირება არის

მაშინ მისი წარმოებული f ‘ (t)-ის ლაპლასის ტრანსფორმირება არის

განვიხილოთ ინტეგრალური ნაწილი პირველი

(2)-ის ჩასმით (1)-ში მივიღებთ

f (0–)-ის გადაკვეთით ორივე მხარეს მივიღებთ

ჩვენ შეგვიძლია შევიტანოთ ზემოთ მოცემული განტოლება, მაგრამ ჩემი ინტენცია ინტეგრალის ზღვრების განსაზღვრა (0– და ∞) ის, რომ თუმცა ჩვენ განვიხილავთ ზღვრების უარყოფით მნიშვნელობებს, ეს შედეგები აქვს დადებით მნიშვნელობებს.

შენიშვნა:
ჩვენ ვიცით, რომ ლაპლასის ტრანსფორმაცია გამოიყენება მხოლოდ კავშირის ფუნქციებისთვის.
(s) ტენდირების განსაზღვრა უსასრულობაში ორივე მხარეს (3)-ში

შესაწყისი მნიშვნელობის თეორემა დამტკიცებულია.

შესაწყისი მნიშვნელობის თეორემის გამოყენება

როგორც ადრე ვთქვი, შესაწყისი მნიშვნელობის თეორემის მიზანი არის ფუნქციის f (t) შესაწყისი მნიშვნელობის დადგენა მის ლაპლასის ტრანსფორმაციის მიცემის შემდეგ
მაგალითი 1:
განსაზღვრეთ შესაწყისი მნიშვნელობა ფუნქციისთვის f (t) = 2 u (t) + 3 cost u (t)
Sol:

შესაწყისი მნიშვნელობის თეორემის მიხედვით

შესაწყისი მნიშვნელობა არის 5.
მაგალითი 2:
განსაზღვრეთ შესაწყისი მნიშვნელობა ტრანსფორმირებული ფუნქციისთვის