Laplace Aylantmasi Boshlang'ich Qiymat Teoremasi

Boshlang'ich qiymat teoremasi Laplace transformasiyaning asosiy xususiyatlari orasidadir. U fransuz matematik fizik Pierre Simon Marquis De Laplace tomonidan berilgan. U Newtonning gravitatsiya nazariyasini qo'llab, sayyoralarning harakati sohada muhim hisoblanadigan kontributsiyalarni ko'rsatdi. Ehtimollik va statistika nazariyasi bo'yicha ishlari o'zgaruvchilikka ega va bu yangi matematiklar nesligiga ta'sir qildi. Laplace Eifel Bashoraning ustida yozilgan 72 kishining biri. Boshlang'ich va oxirgi qiymat teoremalari chekli teoremalardan iborat. Boshlang'ich qiymat teoremasi IVT deb ham ataladi. Bu teorema bizga f(t) funksiyasini topishdan oldin, t = (0+) da boshlang'ich qiymatni topish imkoniyatini beradi.

Boshlang'ich qiymat teoremasi mavjud bo'lish shartlari

1. f(t) funksiyasi va uning hosilasi f'(t) Laplace transformasiyaga ega bo'lishi kerak.

2. Agar t (0+) ga yaqinlasha, f(t) funksiyasi mavjud bo'lishi kerak.

1. f(t) funksiyasi t > 0 uchun 0 ga teng va orijinda impuls yoki yuqori darajali singularitetlarni o'z ichiga olmaydi.

Laplace boshlang'ich qiymat teoremasi

Agar f(t) va F(s) Laplace transformasiya juftlari bo'lsa. Ya'ni

undagina boshlang'ich qiymat teoremasi quyidagicha beriladi:

f(t) funksiyasining Laplace aylantirishini quyidagicha ifodalash mumkin

undan keyin f ‘ (t) hosilasining Laplace aylantirishini quyidagicha ifodalash mumkin

Avval integral qismiga e'tibor bering

(2) ni (1) ga qo'yib hisoblaymiz

Ikki tomondagi f (0–) ni bekor qilib tashlab quyidagicha olishimiz mumkin

Biz bu tenglamani to'g'ridan-to'g'ri yozishimiz mumkin, lekin men (0– dan ∞) gacha integratsiya chegaralarini olishga intilganman, chunki negativ chegaralarni qanday qilib ham hisoblashimiz kerak, natijada musbat qiymatlarga ega bo'lishimiz kerak.

Eslatma:
Laplace aylantirishi faqat sebabi bor funksiyalarda amal qiladi.
(s) ning ikki tomonlari orasida chekli bo'lganda (3)

Shunday qilib, boshlang'ich qiymat teoremasi isbotlandi.

Boshlang'ich qiymat teoremasining tadqiqotlari

Dastlabki qiymat teoremasining maqsadi, uning Laplace o'zgartirilgan ko'rinishi berilganda, f(t) funksiyaning dastlabki qiymatini aniqlash ekanligini avval aytgandim
Misol 1 :
f(t) = 2 u(t) + 3 cost u(t) funksiya uchun dastlabki qiymatni toping
Yechim:

Dastlabki qiymat teoremasi bo'yicha

Dastlabki qiymat 5 ga teng.
Misol 2:
Transformatsiyalangan funksiyaning dastlabki qiymatini toping

Yechim:

Dastlabki qiymat teoremasi bo'yicha

[s → ∞ bo'lganda s ning qiymatlari yanada kam ahamiyatli bo'lib ketadi, shu sababli natija oddiygina yetakchi koeffitsientlarning nisbati olinish orqali topiladi]

Misol 3:
Quyidagining dastlabki qiymatini toping
Yechim:
Bu holda dastlabki qiymat teoremasi qo'llanilmaydi. Buni ikki xil usulda isbotlashimiz mumkin.
Qanday ekanligini ko'raylik
Usul 1:

Eslatma:
Bu teorema qat'iy ravishda F(s) to'g'ri kasr bo'lsa, ya'ni surat ko'phad darajasi maxraj ko'phad darajasidan past bo'lsa, qo'llaniladi.
Agar IVT qo'llansa, dastlabki qiymat sifatida ∞ hosil qilinadi.

[bu amaliy tuzilmalarda imkonsiz]
Boshqa usul:


Teskari Laplace almashtirishini qo'llash
Bu munozabat orqali, bir kishi Laplas transformatsiyasi yordamida elektr tarmog'ining boshlang'ich shartlarini o'zgartirishga qodir bo'ladi.

Eslatma: Asl matnani hursandlik bilan ulashing, agar huquqlar buzilsa iltimos o'chirib tashlashni so'rang.