قضیه مقدار اولیه تبدیل لاپلاس
قضیه مقدار اولیه یکی از ویژگیهای اساسی تبدیل لاپلاس است. این قضیه توسط فیزیکدان ریاضی برجسته فرانسوی پیر سیمون مارکی د لاپلاس ارائه شد. او با استفاده از نظریه گرانش نیوتن، مشارکتهای مهمی در زمینه حرکت سیارات داشت. کار او در زمینه نظریه احتمالات و آمار به عنوان پیشگام شناخته شده و بر روی نسل جدیدی از ریاضیدانان تأثیر گذاشت. لاپلاس یکی از ۷۲ نفری است که نام آنها بر برج ایفل حک شده است.
قضیه مقدار اولیه و قضیه مقدار نهایی به طور مشترک به عنوان قضایای حدی شناخته میشوند. قضیه مقدار اولیه غالباً به عنوان IVT نامیده میشود. این قضیه به ما اجازه میدهد تا مقدار اولیه را در زمان t = (0+) برای یک تابع تبدیل داده شده (لاپلاس) بدون اینکه نیاز به محاسبه f(t) که یک فرآیند خستهکننده است، پیدا کنیم.
شرایط وجود قضیه مقدار اولیه
تابع f(t) و مشتق آن f'(t) باید تبدیل لاپلاسپذیر باشند.
اگر زمان t به (0+) نزدیک شود، تابع f(t) باید وجود داشته باشد.
تابع f(t) برابر صفر است برای t > 0 و شامل هیچ ضربه یا تکینی مرتبه بالاتر در مبدأ نیست.
بیان قضیه مقدار اولیه تبدیل لاپلاس
اگر f(t) و F(s) جفت تبدیل لاپلاس باشند. یعنی
آنگاه قضیه مقدار اولیه به صورت زیر بیان میشود
تبدیل لاپلاس تابع f(t) به صورت زیر است
آنگاه تبدیل لاپلاس مشتق f ‘ (t) به صورت زیر است
ابتدا قسمت انتگرال را در نظر بگیرید
جایگذاری (2) در (1) به ما میدهد
با حذف f (0–) از دو طرف به ما میدهد
میتوانیم مستقیماً معادله فوق را بنویسیم اما منظور من از در نظر گرفتن حدود انتگرال گیری از (0– تا ∞) این است که حتی اگر مقادیر منفی حد را در نظر بگیریم، نتایج با مقادیر مثبت مطابقت دارد.
توجه:
ما همچنین میدانیم که تبدیل لاپلاس فقط برای توابع علتدار قابل اعمال است.
با در نظر گرفتن (s) به سمت بینهایت در دو طرف (3)
بنابراین، قضیه مقدار اولیه اثبات میشود.
کاربردهای قضیه مقدار اولیه
همانطور که قبلاً گفتم، هدف قضیه مقدار اولیه تعیین مقدار اولیه تابع f (t) است که تبدیل لاپلاس آن داده شده است
مثال ۱:
مقدار اولیه تابع f (t) = 2 u (t) + 3 cost u (t) را پیدا کنید
حل:
با استفاده از قضیه مقدار اولیه
مقدار اولیه برابر ۵ است.
مثال ۲:
مقدار اولیه تابع تبدیل شده را پیدا کنید
حل:
با استفاده از قضیه مقدار اولیه
