Лаплас айнымалысының бастапқы мән теоремасы

Бастапқы мән теоремасы - Лаплас түрлендіруінің негізгі қасиеттерінің бірі. Бұл теореманы француз математик және физик Пьер Симон Маркиз де Лаплас берген. Ол Ньютонның тартылыс теориясын қолданып, планеталардың қозғалысына маңызды үлес қосты. Оның теориялық ой-пікірлері өзекті болып, келесі пікірлермен бірге, барлық жаңа математикалық ұрпақты әсер етті. Лаплас - Ефель сүйегіне аты қойылған 72 адамдың бірі. Бастапқы мән теоремасы мен соңғы мән теоремасы бірге шекаралық теоремалар деп аталады. Бастапқы мән теоремасы IVT деп қысқаша аталады. Бұл теорема f(t) функциясын табу үшін көптеген жұмыс істеуге рұқсат бермей, бастапқы уақыт t = (0+) болғандағы мәнді табуға мүмкіндік береді.

Бастапқы мән теоремасының орындалуына шарттар

1. f(t) функциясы және оның туындысы f'(t) Лаплас түрлендіруі мүмкін болуы керек.

2. Егер уақыт t (0+) ге жуысады, онда f(t) функциясы болуы керек.

1. f(t) функциясы t > 0 үшін f(t) = 0 және басында импульстер немесе жоғары дәрежелі құбылыстары болмауы керек.

Лаплас бастапқы мән теоремасының тұжырымдамасы

Егер f(t) және F(s) Лаплас түрлендіру пары болса. Яғни

онда бастапқы мән теоремасы мынадай:

f(t) функциясының Лаплас түрлендіруі

онда f ‘ (t) туындысының Лаплас түрлендіруі

Алдымен интегралдық бөлікті қарастырайық

(2)-ді (1)-ге қосу арқылы аламыз

Екі жақта f (0–)-ді жою арқылы аламыз

Біз түзінді теңдеуді жазуға болады, бірақ мен (0– до ∞) интегралдық шектерін қарастырдым, себебі теріс мәндерді қарастырсақ да, нәтижелер оң мәндерге ие болады.

Ескерту:
Лаплас түрлендіруі тек причинные функциялар үшін қолданылады.
(3)-те s үшін шексіздікке жуысады

Сонымен, бастапқы мән теоремасы дәлелденді.

Бастапқы мән теоремасының қолданылуы

Олай болса, бастапқы мән теоремасының мақсаты - f(t) функциясының бастапқы мәнін анықтау, егер оның Лаплас түрлендіруі берілсе
Мисал 1:
f(t) = 2 u(t) + 3 cos t u(t) функциясының бастапқы мәнін табыңыз
Шешім:

Бастапқы мән теоремасы бойынша

Бастапқы мән 5-ке тең.
Мисал 2:
Түрлендірілген функцияның бастапқы мәнін табыңыз

Шешім:

Бастапқы мән теоремасы бойынша