லாப்லாஸ் பரிமாற்றத்தின் ஆரம்ப மதிப்புத் தேற்றம்

நிலைமதிப்பு தேற்றம் என்பது லாப்லஸ் மாற்றம் அடிப்படை பண்புகளில் ஒன்றாகும். இது பிரான்சிய கணித இயற்பியலாளரான பியர் சீமான் மார்க்விஸ் டி லாப்லஸ் வழங்கியது. அவர் நியூட்டனின் ஈர்ப்பு விதியைப் பயன்படுத்தி கோள இயக்கத்தில் முக்கிய பங்களிப்பு செய்தார். அவரது நிகழ்தகவு மற்றும் புள்ளியியல் தொகுதியில் முன்னோக்கும் வேலை ஒரு புதிய தலைமுறைகளை சார்ந்த கணித இயற்பியலாளர்களை பாதித்தது. லாப்லஸ் எஃபெல் டவரில் தன் பெயரை வைத்த 72 பேரில் ஒருவராகும்.
நிலைமதிப்பு தேற்றம் மற்றும் இறுதிமதிப்பு தேற்றம் இரண்டும் எல்லை தேற்றங்கள் என அழைக்கப்படுகின்றன. நிலைமதிப்பு தேற்றம் பெரும்பாலும் IVT என்று அழைக்கப்படுகிறது. இது ஒரு உருமாற்றப்பட்ட செயல்பாடு (லாப்லஸ்) கொடுக்கப்பட்ட போது t = (0+) இல் நிலைமதிப்பை காண வழிவகுக்கும், f(t) ஐ காண வேண்டிய கடினமான செயல்பாட்டை தவிர்க்கும்.

நிலைமதிப்பு தேற்றத்தின் தேவையான நிபந்தனைகள்

1. சார்பு f(t) மற்றும் அதன் வகைக்கெழு f(t) லாப்லஸ் உருமாற்றத்திற்கு தகுதியானவையாக இருக்க வேண்டும்.

2. நேரம் t (0+) வரை அணுகும்போது சார்பு f(t) இருக்க வேண்டும்.

1. t > 0 வரை f(t) = 0 மற்றும் பூஜ்ஜியத்தில் உயர் வரிசை சாரிகளை அல்லது இளைப்பு சாரிகளை கொண்டிராது.

லாப்லஸ் நிலைமதிப்பு தேற்றத்தின் அறிக்கை

f(t) மற்றும் F(s) லாப்லஸ் உருமாற்ற இணைப்புகள். அதாவது

இப்போது நிலைமதிப்பு தேற்றம் கீழ்க்கண்டவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது

சார்பு f(t) இன் லாப்லஸ் உருமாற்றம்

அதன் வகைக்கெழு f ‘ (t) இன் லாப்லஸ் உருமாற்றம்

முதலில் தொகையிடல் பகுதியை கருதுங்கள்

(2) ஐ (1) இல் பொருத்தும்போது நாம் பெறுவது

f (0–) ஐ இருப்பக்கங்களிலும் நீக்கியபிறகு நாம் பெறுவது

நாம் இந்தச் சமன்பாட்டை நேரிடையாக எழுதலாம், ஆனால் எனது நோக்கம் (0– to ∞) என்ற எல்லைகளை எடுத்து எந்த நேர்ம மதிப்புகளையும் பெறுவது.

குறிப்பு:
நாம் அறிந்துள்ளோம் லாப்லஸ் உருமாற்றம் காரணித்துறை சார்புகளுக்கு மட்டுமே பொருந்தும்.
(3) இல் s இல் வரம்பில் வரை வரும்போது

எனவே, நிலைமதிப்பு தேற்றம் நிறுவப்பட்டது.

நிலைமதிப்பு தேற்றத்தின் பயன்பாடுகள்

நிலைமதிப்பு தேற்றத்தின் நோக்கம் f (t) சார்பின் நிலைமதிப்பை அதன் லாப்லஸ் உருமாற்றம் கொடுக்கப்பட்ட போது நிர்ணயிக்கும்
உதாரணம் 1 :
சார்பு f (t) = 2 u (t) + 3 cost u (t) இன் நிலைமதிப்பைக் காண்க
தீர்வு:

நிலைமதிப்பு தேற்றத்தின்படி

நிலைமதிப்பு 5 ஆகும்.
உதாரணம் 2:
உருமாற்றப்பட்ட சார்பின் நிலைமதிப்பைக