Теорема за почетна вредност на Лапласова трансформација

Теоремата за почетната вредност е една од основните својства на Лапласовата трансформација. Дадена беше од францускиот математичар и физичар Пјер Симон Маркиз Де Лаплас. Тој дал важни придонеси во областа на планетарното движење со примената на Нютновата теорија за гравитација. Неговата работа во теоријата на веројатноста и статистиката се смета за пионерска и влијае на цел ново поколение математичари. Лаплас е еден од 72 луѓе чија имиња се издигнати на Еифеловата кула.
Теоремата за почетната вредност и теоремата за крајната вредност заедно се нарекуваат гранични теореми. Теоремата за почетната вредност често се нарекува IVT. Овозможува ни да најдеме почетната вредност во времето t = (0+) за дадена трансформирана функција (Лаплас) без да мора да работиме тешко за да ја најдеме f(t), што е тешок процес во таков случај.

Услови за постојаност на теоремата за почетната вредност

1. Функцијата f(t) и неговата извод f(t) треба да се Лапласовски трансформабилни.

2. Ако временската променлива t се приближува до (0+) тогаш функцијата f(t) треба да постои.

1. Функцијата f(t) = 0 за t > 0 и не содржи импулси или повисоки редови на сингуларности во потекло.

Изјава на теоремата за почетната вредност на Лаплас

Ако f(t) и F(s) се парови на Лапласова трансформација. т.е

тогаш теоремата за почетната вредност е дадена со

Лапласовата трансформација на функцијата f(t) е

тогаш Лапласовата трансформација на неговата извод f ‘ (t) е

Разгледајме прво интегралната дел

Заменувајќи (2) во (1) добиваме

После отстраниување на f (0–) на двете страни добиваме

Можеме директно да напишеме горната равенка, но мојата намера за земање на границите на интеграцијата од (0– до ∞) е дека, како и да ги разгледуваме негативните вредности на границите, тоа се однесува на резултати со позитивни вредности.

Белешка:
Сепак, знаеме дека Лапласовата трансформација е применима само за каузални функции.
Земајќи (s) кој тежи кон бесконечност на двете страни во (3)

Со тоа, теоремата за почетната вредност е докажана.

Примени на теоремата за почетната вредност

Како што реков, целта на теоремата за почетната вредност е да се определи почетната вредност на функцијата f (t) ако е дадена неговата Лапласова трансформација
Пример 1 :
Најдете почетната вредност за функцијата f (t) = 2 u (t) + 3 cost u (t)
Решение:

Според теоремата за почетната вредност

Почетната вредност е дадена со 5.
Пример 2:
Најдете почетната вредност на трансформираната функција

Решение:

Според теоремата за почетната вредност