Начальная теорема преобразования Лапласа

Теорема начального значения является одним из основных свойств преобразования Лапласа. Она была предложена выдающимся французским математическим физиком Пьером Симоном Маркизом де Лапласом. Он внес значительный вклад в область движения планет, применяя теорию гравитации Ньютона. Его работа в области теории вероятностей и статистики считается пионерской и оказала влияние на целое поколение математиков. Лаплас входит в число 72 человек, чьи имена выгравированы на Эйфелевой башне.
Теорема начального значения и теорема конечного значения вместе называются предельными теоремами. Теорему начального значения часто называют IVT. Она позволяет нам найти начальное значение при времени t = (0+) для данной преобразованной функции (лапласа) без необходимости трудоемкого поиска f(t), что является утомительным процессом в таком случае.

Условия существования теоремы начального значения

1. Функция f(t) и ее производная f'(t) должны быть преобразуемы в преобразование Лапласа.

2. Если время t стремится к (0+), то функция f(t) должна существовать.

1. Функция f(t) = 0 при t > 0 и не содержит импульсов или сингулярностей высокого порядка в начале координат.

Формулировка теоремы начального значения преобразования Лапласа

Если f(t) и F(s) являются парами преобразования Лапласа. Т.е

тогда теорема начального значения задается следующим образом:

Преобразование Лапласа функции f(t) есть

тогда преобразование Лапласа ее производной f'(t) есть

Рассмотрим интегральную часть сначала

Подставляя (2) в (1), получаем

При отмене f(0–) на обеих сторонах получаем

Можно сразу записать вышеуказанное уравнение, но моя цель, взяв пределы интегрирования от (0– до ∞), состоит в том, чтобы показать, что, как бы мы ни рассматривали отрицательные значения пределов, результаты будут иметь положительные значения.

Примечание:
Мы также знаем, что преобразование Лапласа применимо только для причинных функций.
При рассмотрении (s), стремящегося к бесконечности на обеих сторонах в (3)

Таким образом, теорема начального значения доказана.

Применение теоремы начального значения

Как я уже говорил ранее, целью теоремы начального значения является определение начального значения функции f(t), если дано ее преобразование Лапласа
Пример 1 :
Найдите начальное значение для функции f(t) = 2u(t) + 3cos(t)u(t)
Решение:

По теореме начального значения

Начальное значение равно 5.
Пример 2:
Найдите начальное значение преобразованной функции

Решение:

По теореме начального значения

[когда s → ∞, значения s становятся все менее и менее значимыми, поэтому результат можно получить, просто взяв отношение старших коэффициентов]