Teorema do Valor Inicial da Transformada de Laplace

O Teorema do Valor Inicial é uma das propriedades básicas da transformada de Laplace. Foi dado pelo proeminente físico matemático francês Pierre Simon Marquis De Laplace. Ele fez contribuições cruciais na área do movimento planetário aplicando a teoria da Gravitação de Newton. Seu trabalho sobre a teoria da probabilidade e estatística é considerado pioneiro e isso influenciou uma nova geração de matemáticos. Laplace é um dos 72 nomes gravados na Torre Eiffel.
O teorema do valor inicial e o teorema do valor final são juntos chamados de Teoremas Limitantes. O teorema do valor inicial é frequentemente referido como TVI. Ele nos permitirá encontrar o valor inicial no tempo t = (0+) para uma função transformada dada (Laplace) sem precisarmos trabalhar mais para encontrar f(t), que é um processo tedioso nesse caso.

Condições para a existência do Teorema do Valor Inicial

1. A função f(t) e sua derivada f'(t) devem ser transformáveis por Laplace.

2. Se o tempo t se aproxima de (0+), então a função f(t) deve existir.

1. A função f(t) = 0 para t > 0 e não contém impulsos ou singularidades de ordem superior na origem.

Enunciado do Teorema do Valor Inicial de Laplace

Se f(t) e F(s) são pares de transformadas de Laplace. i.e

então o teorema do valor inicial é dado por

A transformada de Laplace de uma função f(t) é

então a transformada de Laplace de sua derivada f '(t) é

Consideremos primeiro a parte integral

Substituindo (2) em (1) obtemos

Ao cancelar f (0–) em ambos os lados, obtemos

Podemos escrever diretamente a equação acima, mas minha intenção ao tomar os limites de integração de (0– a ∞) é que, independentemente de considerarmos valores negativos dos limites, isso se refere a resultados com valores positivos.

Nota:
Sabemos também que a transformada de Laplace é aplicável apenas para funções causais.
Ao considerar (s) tendendo ao infinito em ambos os lados em (3)

Portanto, o teorema do valor inicial está provado.

Aplicações do Teorema do Valor Inicial

Como mencionei anteriormente, o propósito do teorema do valor inicial é determinar o valor inicial da função f(t) fornecida sua transformada de Laplace
Exemplo 1 :
Encontre o valor inicial para a função f(t) = 2 u(t) + 3 cos(t) u(t)
Sol:

Pelo teorema do valor inicial

O valor inicial é dado por 5.
Exemplo 2:
Encontre o valor inicial da função transformada

Sol:

Pelo teorema do valor inicial

[à medida que s → ∞, os valores de s tornam-se cada vez mais insignificantes, portanto, o resultado é obtido simplesmente tomando a razão dos coeficientes principais]