Beginwaarde-stelling van Laplace-transformasie

Die Beginwaarde-stelling is een van die basiese eienskappe van Laplace-transformasie. Dit is gegee deur die bekende Franse wiskundige fisikus Pierre Simon Marquis De Laplace. Hy het belangrike bydraes gelewer in die gebied van planeetbeweging deur Newton se teorie van Gravitasie toe te pas. Sy werk oor waarskynlikheidsteorie en statistiek word beskou as pionierswerk en het 'n hele nuwe generasie wiskundiges beïnvloed. Laplace is een van die 72 mense wat hul naam op die Eiffeltoring ingekerf het.
Die beginwaarde-stelling en eindwaarde-stelling staan saam bekend as Limietstelle. Die beginwaarde-stelling word dikwels as IVT aangedui. Dit sal ons in staat stel om die beginwaarde by tyd t = (0+) vir 'n gegewe getransformeerde funksie (Laplace) te vind sonder om harder te werk om f(t) te vind, wat 'n vermoeiende proses is in so 'n geval.

Voorwaardes vir die bestaan van die beginwaarde-stelling

1. Die funksie f(t) en sy afgeleide f(t) moet Laplace-transformeerbaar wees.

2. As tyd t nader tot (0+) dan moet die funksie f(t) bestaan.

1. Die funksie f(t) = 0 vir t > 0 en bevat geen impulsies of hoër orde singulariteite by die oorsprong nie.

Uitspraak van die Laplace Beginwaarde-stelling

As f(t) en F(s) Laplace-transformeerbare paartjies is. d.w.s

dan word die beginwaarde-stelling gegee deur

Laplace-transformasie van 'n funksie f(t) is

dan is Laplace-transformasie van sy afgeleide f ‘ (t)

Oorweeg eers die integrale deel

Deur (2) in (1) in te stel, kry ons

Deur f (0–) aan beide kante te kanselleer, kry ons

Ons kan die bo-vereenvoudigde vergelyking reguit skryf, maar my bedoeling om die integrasiegrense van (0– na ∞) te neem, is dat ons egter negatiewe waardes van grense oorweeg, dit betrekke resultate met positiewe waardes.

Nota:
Ons weet ook dat Laplace-transformasie slegs toepaslik is vir kausale funksies.
Deur (s) na oneindigheid te laat neig aan beide kante in (3)

Dus, is die beginwaarde-stelling bewys.

Toepassings van die Beginwaarde-stelling

Soos ek vroeër gesê het, is die doel van die beginwaarde-stelling om die beginwaarde van die funksie f (t) te bepaal, verskaf sy Laplace-transformasie is gegee
Voorbeeld 1 :
Vind die beginwaarde vir die funksie f (t) = 2 u (t) + 3 cost u (t)
Sol:

Volgens die beginwaarde-stelling

Die beginwaarde is 5.
Voorbeeld 2:
Vind die beginwaarde van die getransformeerde funksie

Sol:

Volgens die beginwaarde-stelling

[as s → ∞ word die waardes van s meer en meer onbetekenend, dus word die resultaat verkry deur net die verhouding van die leidende koëffisiënte te neem]