లాప్లేస్ రూపాన్నికి అమూల్య విలువ సిద్ధాంతం

ప్రారంభ విలువ సిద్ధాంతం లాప్లేస్ ట్రాన్స్‌ఫార్మ్‌కి చెందిన ఒక మూల ధర్మం. దీనిని ప్రఖ్యాతిగానున్న ఫ్రెంచ్ గణిత భౌతిక శాస్త్రవేత్త పియర్ సైమన్ మార్క్యూయిస్ డి లాప్లేస్ ఇచ్చారు. అతను న్యూటన్‌కు గురుత్వాకర్షణ సిద్ధాంతం ఉపయోగించి గ్రహ చలనం రంగంలో ప్రముఖ శోభాన్ని చేశారు. అతని సంభావ్యత సిద్ధాంతం మరియు సంఖ్యాశాస్త్రం గురించిన పన్నులు ప్రారంభిక మరియు ప్రభావం కలిగినవి, అవి అనేక గణిత శాస్త్రవేత్తలను ప్రభావితం చేశాయి. లాప్లేస్ ఎయిఫిల్ టావర్‌లో తన పేరు కథించబడిన 72 మందిలో ఒకరు.
ప్రారంభ విలువ సిద్ధాంతం మరియు అంతిమ విలువ సిద్ధాంతం కలిసి పరిమితి సిద్ధాంతాలు అని పిలువబడతాయి. ప్రారంభ విలువ సిద్ధాంతం సాధారణంగా IVT అని పిలువబడుతుంది. ఇది లాప్లేస్ ట్రాన్స్‌ఫార్మ్‌కు చెందిన ఒక ఫంక్షన్‌కు t = (0+) వద్ద ప్రారంభ విలువను కనుగొనడానికి మానించబడుతుంది, f(t) ను కనుగొనడం ఒక కష్టకర ప్రక్రియ అయినప్పుడు ఇది సులభంగా చేయబడుతుంది.

ప్రారంభ విలువ సిద్ధాంతం యొక్క ఉనికికి అవసరమైన పరిస్థితులు

1. f(t) ఫంక్షన్ మరియు దాని వికలపం f'(t) లాప్లేస్ ట్రాన్స్‌ఫార్మ్‌యబుల్‌య్యులు ఉండాలి.

2. సమయం t (0+) వద్ద దిగితే, f(t) ఫంక్షన్ ఉంటుంది.

1. t > 0 వద్ద f(t) = 0 మరియు మూలం వద్ద ఎంచుకున్న సంకీర్ణతలు లేవు.

లాప్లేస్ ప్రారంభ విలువ సిద్ధాంతం

f(t) మరియు F(s) లాప్లేస్ ట్రాన్స్‌ఫార్మ్ జతలు. అనగా

అప్పుడు ప్రారంభ విలువ సిద్ధాంతం

f(t) ఫంక్షన్ యొక్క లాప్లేస్ ట్రాన్స్‌ఫార్మ్

అప్పుడు f ‘ (t) యొక్క లాప్లేస్ ట్రాన్స్‌ఫార్మ్

మొదట ఇంటిగ్రల్ భాగాన్ని పరిగణించండి

(2)ని (1)లో ప్రతిస్థాపించడం ద్వారా

రెండు వైపులా f (0–) ను రద్దు చేయడం ద్వారా

మనం క్రింది సమీకరణాన్ని నేర్చుకున్నట్లు రాయవచ్చు, కానీ నేను సమాకలన పరిమితులను (0– నుండి ∞) వరకు తీసుకువెళ్లాను, ఏ విధంగా మనం ప్రతికూల విలువలను పరిగణించినా ఫలితాలు ధనాత్మక విలువలను కలిగి ఉంటాయి.

నోట్:
లాప్లేస్ ట్రాన్స్‌ఫార్మ్ కేవలం కాయసల్ ఫంక్షన్‌లకు మాత్రమే అనువర్తించబడుతుంది.
(3)లో s అనేది అనంతం వైపు వెళ్ళినప్పుడు

కాబట్టి, ప్రారంభ విలువ సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

ప్రారంభ విలువ సిద్ధాంతం యొక్క ప్రయోజనాలు

నేను ముందుగా చెప్పాను, ప్రారంభ విలువ సిద్ధాంతం యొక్క ఉద్దేశం f (t) ఫంక్షన్ యొక్క ప్రారంభ విలువను కనుగొనడం, దాని లాప్లేస్ ట్రాన్స్‌ఫార్మ్ ఇవ్వబడినప్పుడు
ఉదాహరణ 1 :
ఫంక్షన్ f (t) = 2 u (t) + 3 cost u (t) యొక్క ప్రారంభ విలువను కనుగొనండి
పరిష్కారం:

ప్రారంభ విలువ సిద్ధాంతం ద్వారా