Định lý giá trị ban đầu của biến đổi Laplace

Định lý giá trị ban đầu là một trong những tính chất cơ bản của biến đổi Laplace. Nó được đưa ra bởi nhà vật lý toán học người Pháp nổi tiếng Pierre Simon Marquis De Laplace. Ông đã đóng góp quan trọng trong lĩnh vực chuyển động hành tinh bằng cách áp dụng lý thuyết hấp dẫn của Newton. Công trình của ông về lý thuyết xác suất và thống kê được coi là tiên phong và đã ảnh hưởng đến cả một thế hệ nhà toán học mới. Laplace là một trong 72 người có tên được khắc trên Tháp Eiffel.
Định lý giá trị ban đầu và định lý giá trị cuối cùng được gọi chung là Định lý Giới hạn. Định lý giá trị ban đầu thường được gọi là IVT. Nó sẽ cho phép chúng ta tìm giá trị ban đầu tại thời điểm t = (0+) cho một hàm biến đổi (Laplace) đã cho mà không cần phải làm việc vất vả để tìm f(t), điều này là quá phức tạp trong trường hợp này.

Điều kiện tồn tại của định lý giá trị ban đầu

1. Hàm f(t) và đạo hàm f'(t) phải có thể biến đổi Laplace.

2. Nếu thời gian t tiến tới (0+) thì hàm f(t) phải tồn tại.

1. Hàm f(t) = 0 cho t > 0 và không chứa xung hoặc các điểm kỳ dị bậc cao ở gốc.

Định lý giá trị ban đầu của biến đổi Laplace

Nếu f(t) và F(s) là cặp biến đổi Laplace. tức là

thì định lý giá trị ban đầu được đưa ra bởi

Biến đổi Laplace của hàm f(t) là

thì biến đổi Laplace của đạo hàm f'(t) là

Xét phần tích phân trước

Thay (2) vào (1) ta được

Sau khi loại bỏ f (0–) ở cả hai bên ta được

Chúng ta có thể viết trực tiếp phương trình trên, nhưng mục đích của tôi khi lấy giới hạn tích phân từ (0– đến ∞) là dù chúng ta xem xét các giá trị âm của giới hạn, kết quả vẫn mang giá trị dương.

Lưu ý:
Chúng ta cũng biết rằng biến đổi Laplace chỉ áp dụng cho các hàm nhân quả.
Khi xem xét (s) tiến tới vô cực ở cả hai bên trong (3)

Vì vậy, định lý giá trị ban đầu được chứng minh.

Ứng dụng của định lý giá trị ban đầu

Như tôi đã nói trước đó, mục đích của định lý giá trị ban đầu là xác định giá trị ban đầu của hàm f(t) nếu biến đổi Laplace của nó được cho
Ví dụ 1 :
Tìm giá trị ban đầu cho hàm f(t) = 2 u(t) + 3 cos(t) u(t)
Giải:

Theo định lý giá trị ban đầu

Giá trị ban đầu là 5.
Ví dụ 2:
Tìm giá trị ban đầu của hàm biến đổi

Giải:

Theo định lý giá trị ban đầu

[khi s → ∞, giá trị của s trở nên không đáng kể, do đó kết quả được lấy bằng cách đơn giản là tỷ lệ giữa các hệ số bậc cao nhất]