Anfangswertsatz der Laplace-Transformation
Der Anfangswertsatz ist eine der grundlegenden Eigenschaften der Laplace-Transformation. Er wurde von dem prominenten französischen Mathematiker und Physiker Pierre Simon Marquis De Laplace formuliert. Er leistete wichtige Beiträge auf dem Gebiet der Planetenbewegung durch die Anwendung von Newtons Gravitationstheorie. Seine Arbeiten zur Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik gelten als wegweisend und beeinflussten eine ganze neue Generation von Mathematikern. Laplace gehört zu den 72 Menschen, deren Namen am Eiffelturm eingraviert sind. Der Anfangswertsatz und der Endwertsatz werden zusammen als Grenzwertsätze bezeichnet. Der Anfangswertsatz wird oft als IVT bezeichnet. Er ermöglicht es uns, den Anfangswert bei t = (0+) für eine gegebene transformierte Funktion (Laplace) zu finden, ohne dass wir uns mit der mühsamen Bestimmung von f(t) befassen müssen.
Voraussetzungen für die Existenz des Anfangswertsatzes
Die Funktion f(t) und ihre Ableitung f'(t) sollten laplace-transformierbar sein.
Wenn die Zeit t gegen (0+) strebt, sollte die Funktion f(t) existieren.
Die Funktion f(t) = 0 für t > 0 und enthält keine Impulse oder höhere Singularitäten am Ursprung.
Aussage des Anfangswertsatzes der Laplace-Transformation
Wenn f(t) und F(s) Laplace-Transformationspaare sind. d.h.
dann lautet der Anfangswertsatz
Die Laplace-Transformation einer Funktion f(t) ist
dann ist die Laplace-Transformation ihrer Ableitung f'(t)
Betrachten wir zunächst den Integralteil
Durch Einsetzen von (2) in (1) erhalten wir
Durch Streichen von f (0–) auf beiden Seiten erhalten wir
Wir können die obige Gleichung direkt schreiben, aber mein Ziel beim Betrachten der Integrationsgrenzen von (0– bis ∞) ist, dass auch wenn wir negative Werte der Grenzen betrachten, die Ergebnisse positive Werte haben.
Hinweis:
Wir wissen auch, dass die Laplace-Transformation nur für kausale Funktionen anwendbar ist.
Wenn wir (s) gegen unendlich gehen lassen auf beiden Seiten in (3)
Daher ist der Anfangswertsatz bewiesen.
Anwendungen des Anfangswertsatzes
Wie ich bereits erwähnt habe, dient der Anfangswertsatz dazu, den Anfangswert der Funktion f(t) zu bestimmen, sofern ihre Laplace-Transformation gegeben ist.
Beispiel 1 :
Bestimmen Sie den Anfangswert für die Funktion f(t) = 2 u(t) + 3 cos(t) u(t)
Lösung:
Gemäß dem Anfangswertsatz
Der Anfangswert beträgt 5.
Beispiel 2:
Bestimmen Sie den Anfangswert der transformierten Funktion
Lösung:
Gemäß dem Anfangswertsatz
[da s → ∞ die Werte von s immer unwichtiger werden, ergibt sich das Ergebnis einfach durch das Verhältnis der führenden Koeffizienten]
Beispiel 3:
