Teorem o početnoj vrijednosti Laplaceove transformacije

Teorem o početnoj vrijednosti je jedna od osnovnih svojstava Laplaceove transformacije. Dano je istaknutim francuskim matematičkim fizicarom Pierre Simon Marquis De Laplace. On je dao ključne doprinose u području kretanja planeta primjenom Newtonove teorije gravitacije. Njegov rad o teoriji vjerojatnosti i statistike smatra se pionirskim i utjecao je na cijelu novu generaciju matematičara. Laplace je jedan od 72 osoba čija su imena uklesana na Eiffelovu tornjev.
Teorem o početnoj vrijednosti i teorem o krajnjoj vrijednosti zajedno se nazivaju teoremi granica. Teorem o početnoj vrijednosti često se naziva IVT. Omogućit će nam pronaći početnu vrijednost u trenutku t = (0+) za zadanu transformiranu funkciju (Laplace) bez potrebe da trudimo više kako bismo pronašli f(t), što je u tom slučaju naporni postupak.

Uvjeti za postojanje teorema o početnoj vrijednosti

1. Funkcija f(t) i njezina derivacija f'(t) trebaju biti Laplaceove transformabilne.

2. Ako vrijeme t teži (0+) tada funkcija f(t) treba postojati.

1. Funkcija f(t) = 0 za t > 0 i ne sadrži impulse ili singularnosti višeg reda u ishodištu.

Izjava teorema o početnoj vrijednosti Laplaceove transformacije

Ako su f(t) i F(s) parovi Laplaceove transformacije. Tj.

tada je teorem o početnoj vrijednosti dat s

Laplaceova transformacija funkcije f(t) je

tada je Laplaceova transformacija njezine derivacije f ‘ (t) dana s

Razmotrimo integralni dio prvo

Uvrštavanjem (2) u (1) dobivamo

Otprilike otklanjanjem f (0–) na obje strane dobivamo

Možemo odmah napisati gornju jednadžbu, ali moja intencija uzimanja granica integracije od (0– do ∞) jest da, bez obzira na negativne vrijednosti granica, rezultati imaju pozitivne vrijednosti.

Napomena:
Znamo da je Laplaceova transformacija primjenjiva samo za kauzalne funkcije.
Ako posmatramo (s) teži beskonačnosti na obje strane u (3)

Stoga je dokazan teorem o početnoj vrijednosti.

Primjene teorema o početnoj vrijednosti

Kao što sam rekao ranije, svrha teorema o početnoj vrijednosti je odrediti početnu vrijednost funkcije f (t) ako je data njena Laplaceova transformacija
Primjer 1 :
Pronađite početnu vrijednost za funkciju f (t) = 2 u (t) + 3 cost u (t)
Rješenje:

Prema teoremu o početnoj vrijednosti

Početna vrijednost je 5.
Primjer 2:
Pronađite početnu vrijednost transformirane funkcije

Rješenje:

Prema teoremu o početnoj vrijednosti

[kako s → ∞, vrijednosti s postaju sve manje i manje značajne, stoga se rezultat dobiva jednostavno uzimanjem omjera vodeć