라플라스 변환의 초기값 정리

초기값 정리는 라플라스 변환의 기본적인 성질 중 하나입니다. 이는 프랑스의 유명한 수리물리학자 피에르 시몽 마르퀴 드 라플라스에 의해 제시되었습니다. 그는 뉴턴의 중력 이론을 적용하여 행성 운동 분야에서 중요한 기여를 했습니다. 확률 이론과 통계에 대한 그의 연구는 선구적이었으며, 이를 통해 새로운 세대의 수학자들에게 영향을 미쳤습니다. 라플라스는 에펠탑에 이름이 새겨진 72명 중 한 명입니다. 초기값 정리와 최종값 정리는 함께 극한 정리라고 불립니다. 초기값 정리는 종종 IVT로 언급됩니다. 이는 주어진 변환 함수(라플라스)에 대해 t = (0+)에서의 초기값을 찾게 해주며, f(t)를 직접 찾아내는 번거로운 과정을 피할 수 있게 합니다.

초기값 정리의 존재 조건

1. 함수 f(t)와 그 도함수 f'(t)가 라플라스 변환이 가능해야 합니다.

2. 시간 t가 (0+)으로 접근할 때, 함수 f(t)가 존재해야 합니다.

1. 함수 f(t)는 t > 0일 때 0이며, 원점에서 임펄스나 고차 특이점을 포함하지 않습니다.

라플라스 초기값 정리의 진술

f(t)와 F(s)가 라플라스 변환 쌍이라면. 즉

그렇다면 초기값 정리는 다음과 같이 주어집니다.

함수 f(t)의 라플라스 변환은

그러면 그 도함수 f'(t)의 라플라스 변환은

먼저 적분 부분을 고려해보겠습니다.

(2)를 (1)에 대입하면

양쪽에서 f(0–)를 소거하면

우리는 위의 방정식을 바로 쓸 수 있지만, 적분의 한계를 (0–부터 ∞)로 설정하는 이유는 어떤 경우에도 한계의 음수 값을 고려하더라도 결과는 양수 값이 되어야 한다는 것입니다.

참고:
라플라스 변환은 인과적 함수에 대해서만 적용될 수 있습니다.
(3)에서 s가 양쪽에서 무한대로 가까워지면

따라서, 초기값 정리는 증명됩니다.

초기값 정리의 응용

처음에 말했듯이 초기값 정리의 목적은 주어진 라플라스 변환을 이용하여 함수 f(t)의 초기값을 결정하는 것입니다.
예제 1 :
함수 f(t) = 2 u(t) + 3 cost u(t)의 초기값을 구하십시오.
해결:

초기값 정리에 따르면

초기값은 5입니다.
예제 2:
변환된 함수의 초기값을 구하십시오.

해결:

초기값 정리에 따르면

[s → ∞ 일 때, s의 값들은 점점 더 중요하지 않아지므로 결과는 단순히 주요 계수의 비율을 취하여 얻을 수 있습니다.]