Initia Valoroteoremo de Laplac-a Transformo
La teoremo pri la komenca valoro estas unu el la bazaj ecoj de la Laplac-a transformo. Ĝi estis donita de eminenta franca matematika fizikisto Pierre Simon Marquis De Laplace. Li faris gravajn kontribuojn en la areo de planeta movado per apliko de la newtona teorio de Gravito. Lia laboro rilate al la teorio de probablokalkulo kaj statistiko estas konsiderata pionira kaj tiu influis tute novan generacion de matematikistoj. Laplace estas unu inter la 72 personoj, kiuj havas sian nomon gravuritan sur la Eifelturo.
La teoremo pri la komenca valoro kaj la fina valoro estas kunmetitaj kiel Limigaj Teoremoj. La teoremo pri la komenca valoro ofte estas referita kiel IVT. Ĝi povos ebligi nin trovi la komencan valoron je tempo t = (0+) por donita transforma funkcio (laplace) sen ke ni devus labori pli forte por trovi f(t), kiu estas longa procezo en tia okazo.
Kondiĉoj por la ekzisto de la teoremo pri la komenca valoro
La funkcio f(t) kaj ĝia derivaĵo f'(t) devas esti Laplace-transformeblaj.
Se la tempo t proksimiĝas al (0+), tiam la funkcio f(t) devas ekzisti.
La funkcio f(t) = 0 por t > 0 kaj ne enhavas impulsojn aŭ pli altordajn singularajn punktojn je la origino.
Teoremo pri la komenca valoro de Laplace
Se f(t) kaj F(s) estas Laplace-transformaj paroj. T.e
tiam la teoremo pri la komenca valoro estas donita per
La Laplace-transformo de funkcio f(t) estas
tiam la Laplace-transformo de ĝia derivaĵo f ' (t) estas
Konsideru unue la integralan parton
Substituante (2) en (1) ni ricevas
Post forigo de f (0–) en ambaŭ flankoj ni ricevas
Ni povas rekte skribi la supran ekvacion, sed mia intenco pri la limoj de integriĝo de (0– ĝis ∞) estas ke kvankam ni konsideras negativajn valorojn de limoj, ĝi rilatas al rezultoj kun pozitivaj valoroj.
Noto:
Ni ankaŭ scias, ke la Laplace-transformo estas aplikigebla nur por kaŭzaj funkcioj.
Konsiderante (s) tendancan al malfinio en ambaŭ flankoj en (3)
Do, la teoremo pri la komenca valoro estas pruvita.
Aplikoj de la teoremo pri la komenca valoro
Kiel mi diris antaŭe, la celo de la teoremo pri la komenca valoro estas determini la komencan valoron de la funkcio f (t) se ĝia Laplace-transformo estas donita
Ekzemplo 1 :
Trovu la komencan valoron por la funkcio f (t) = 2 u (t) + 3 cost u (t)
Sol:
Per la teoremo pri la komenca valoro
La komenca valoro estas donita per 5.
Ekzemplo 2:
Trovu la komencan valoron de la transformita funkcio
Sol:
Per la teoremo pri la komenca valoro
[kiel s → ∞, la valoroj de s iĝas pli kaj pli malgranda, do la rezulto estas akirita simple prenante la rilatumon de la kondukantaj koeficientoj]
