Izraz za začetno vrednost Laplaceove transformacije

Izrek o začetni vrednosti je ena od osnovnih lastnosti Laplaceove transformacije. Bil je podan znanim francoskim matematičnim fizikom Pierre Simon Marquis de Laplace. Njegove ključne prispevke na področju gibanja planetov so temeljili na Newtonovi teoriji gravitacije. Njegovo delo na področju teorije verjetnosti in statistike je smatrano pionirskim in to je vplivalo na cel novo generacijo matematikov. Laplace je eden od 72 ljudi, katerih imena so bila gravirana na Eiffelovem stolpu.
Izrek o začetni vrednosti in izrek o končni vrednosti skupaj imenujemo kot mejna izreka. Izrek o začetni vrednosti pogosto označujemo kot IVT. Omogoča nam najti začetno vrednost ob času t = (0+) za dano transformirano funkcijo (Laplace) brez potrebe po intenzivnem iskanju f(t), kar bi bilo v takšnem primeru dolgotrajno.

Pogoji za obstoj izreka o začetni vrednosti

1. Funkcija f(t) in njen odvod f'(t) morata biti Laplace transformabilni.

2. Če se čas t približuje (0+), mora obstajati funkcija f(t).

1. Funkcija f(t) = 0 za t > 0 in ne vsebuje impulsov ali višjih redov singularnosti pri izhodišču.

Izrek o začetni vrednosti Laplaceove transformacije

Če sta f(t) in F(s) Laplaceova transformacijska para. Torej

potem je izrek o začetni vrednosti podan s

Laplaceova transformacija funkcije f(t) je

potem je Laplaceova transformacija njenega odvoda f'(t)

Razmotrimo najprej integralni del

Z nadomestitvijo (2) v (1) dobimo

Po odpovedi f (0–) na obeh straneh dobimo

Lahko neposredno zapišemo zgornjo enačbo, a moja namen na upoštevanje meja integracije od (0– do ∞) je, da čeprav upoštevamo negativne vrednosti mej, rezultati ostajajo pozitivni.

Opomba:
Laplaceova transformacija je uporabna le za kauzalne funkcije.
Ob upoštevanju (s) teče proti neskončnosti na obeh straneh v (3)

Tako je dokazan izrek o začetni vrednosti.

Uporaba izreka o začetni vrednosti

Kot sem že rekel, je namen izreka o začetni vrednosti določiti začetno vrednost funkcije f(t), če je njena Laplaceova transformacija podana
Primer 1 :
Najdi začetno vrednost za funkcijo f(t) = 2 u(t) + 3 cos(t) u(t)
Rešitev:

Po izreku o začetni vrednosti

Začetna vrednost je 5.
Primer 2:
Najdi začetno vrednost transformirane funkcije

Rešitev:

Po izreku o začetni vrednosti

[ko s → ∞, vrednosti s postanejo vedno bolj neznačilne, zato rezultat pridobimo preprosto z vzpostavitvijo razmerja vodilnih koeficientov]