Teorema del valore iniziale della trasformata di Laplace

Il Teorema del Valore Iniziale è una delle proprietà fondamentali della trasformata di Laplace. Fu dato dal noto fisico matematico francese Pierre Simon Marquis De Laplace. Egli fece contributi cruciali nell'area del moto planetario applicando la teoria della gravitazione di Newton. Il suo lavoro sulla teoria della probabilità e della statistica è considerato pionieristico e ha influenzato un'intera generazione di matematici. Laplace è uno dei 72 individui i cui nomi sono incisi sulla Torre Eiffel.
Il teorema del valore iniziale e il teorema del valore finale sono insieme chiamati teoremi limite. Il teorema del valore iniziale è spesso indicato come IVT. Ci permette di trovare il valore iniziale al tempo t = (0+) per una data funzione trasformata (di Laplace) senza dover lavorare duramente per trovare f(t), che sarebbe un processo tedioso in tale caso.

Condizioni per l'esistenza del teorema del valore iniziale

1. La funzione f(t) e la sua derivata f'(t) devono essere trasformabili secondo Laplace.

2. Se il tempo t tende a (0+) allora la funzione f(t) deve esistere.

1. La funzione f(t) = 0 per t > 0 e non contiene impulsi o singolarità di ordine superiore all'origine.

Enunciato del Teorema del Valore Iniziale di Laplace

Se f(t) e F(s) sono coppie di trasformate di Laplace. Cioè

allora il teorema del valore iniziale è dato da

La trasformata di Laplace di una funzione f(t) è

allora la trasformata di Laplace della sua derivata f'(t) è

Consideriamo prima la parte integrale

Sostituendo (2) in (1) otteniamo

Annullando f(0–) su entrambi i lati otteniamo

Potremmo scrivere direttamente l'equazione sopra, ma il mio intento nel prendere i limiti di integrazione da (0– a ∞) è che, anche se consideriamo valori negativi dei limiti, essi si riferiscono a risultati con valori positivi.

Nota:
Sappiamo anche che la trasformata di Laplace è applicabile solo per funzioni causali.
Considerando (s) che tende all'infinito su entrambi i lati in (3)

Quindi, il teorema del valore iniziale è dimostrato.

Applicazioni del Teorema del Valore Iniziale

Come ho detto prima, lo scopo del teorema del valore iniziale è determinare il valore iniziale della funzione f(t) fornita la sua trasformata di Laplace
Esempio 1 :
Trova il valore iniziale per la funzione f(t) = 2 u(t) + 3 cos(t) u(t)
Sol:

Per il teorema del valore iniziale

Il valore iniziale è dato da 5.
Esempio 2:
Trova il valore iniziale della funzione trasformata

Sol:

Per il teorema del valore iniziale

[quando s → ∞, i valori di s diventano sempre più insignificanti, quindi il risultato viene ottenuto semplicemente prendendo il rapporto dei coefficienti principali]