Netwerksynthese | Hurwitz-polynoom | Positieve reële functies
Theorie van netwerksynthese
Netwerkfuncties
De theorie van netwerksynthese omvat de synthese van netwerken die bestaan uit zowel actieve componenten (zoals weerstanden) als passieve componenten (zoals spoelen en condensatoren).
Laten we beginnen met de basis: wat is een netwerkfunctie? In het frequentiedomein worden netwerkfuncties gedefinieerd als het quotiënt dat wordt verkregen door de fasor die overeenkomt met de uitgang van het circuit te delen door de fasor die overeenkomt met de ingang van het circuit.
Met andere woorden, netwerkfuncties zijn het verhouding van de uitgangsfasor tot de ingangsfasor wanneer fasoren in het frequentiedomein bestaan. De algemene vorm van netwerkfuncties is hieronder gegeven:
Met behulp van de bovenstaande algemene netwerkfunctie kunnen we de noodzakelijke voorwaarden beschrijven voor de stabiliteit van alle netwerkfuncties. Er zijn drie belangrijke noodzakelijke voorwaarden voor de stabiliteit van deze netwerkfuncties en ze staan hieronder:
De graad van de teller van F(s) mag de graad van de noemer niet meer dan één overstijgen. Met andere woorden, (m – n) moet kleiner of gelijk zijn aan één.
F(s) mag geen meervoudige polen hebben op de jω-as of de y-as van de pool-nulpunt plot.
F(s) mag geen polen hebben in de rechter helft van het s-vlak.
Hurwitz-polynoom
Als alle stabiliteitscriteria vervuld zijn (d.w.z. we hebben een stabiele netwerkfunctie), dan wordt de noemer van F(s) de Hurwitz-polynoom genoemd.
Waarbij Q(s) een Hurwitz-polynoom is.
Eigenschappen van Hurwitz-polynomen
Er zijn vijf belangrijke eigenschappen van Hurwitz-polynomen en ze staan hieronder:
Voor alle reële waarden van s moet de waarde van de functie P(s) reëel zijn.
Het reële deel van elke wortel moet nul of negatief zijn.
Laten we de coëfficiënten van de noemer van F(s) bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0 overwegen. Hierbij moet worden opgemerkt dat bn, b(n-1), b0 positief moeten zijn en bn en b(n-1) mogen niet tegelijkertijd nul zijn.
De kettingbreukexpansie van even naar oneven deel van de Hurwitz-polynoom moet alle positieve quotiënten opleveren, als de even graad hoger is, of de kettingbreukexpansie van oneven naar even deel van de Hurwitz-polynoom moet alle positieve quotiënten opleveren, als de oneven graad hoger is.
In het geval van puur even of puur oneven polynomen, moeten we de kettingbreuk maken met de afgeleide van de puur even of puur oneven polynomen, en de rest van de procedure is hetzelfde als vermeld in punt nummer (4).
Uit de bovenstaande discussie concluderen we een heel eenvoudig resultaat, als alle coëfficiënten van het kwadratische polynoom reëel en positief zijn, dan is dat kwadratische polynoom altijd een Hurwitz-polynoom.
Positieve reële functies
Elke functie die in de vorm van F(s) is, zal een positieve reële functie worden genoemd als deze vier belangrijke voorwaarden voldoet:
F(s) moet reële waarden geven voor alle reële waarden van s.
P(s) moet een Hurwitz-polynoom zijn.
Als we s = jω substitueren, dan bij het scheiden van het reële en imaginaire deel, moet het reële deel van de functie groter zijn dan of gelijk aan nul, wat betekent dat het niet-negatief moet zijn. Dit is een zeer belangrijke voorwaarde en we zullen deze vaak gebruiken om vast te stellen of de functie positief reëel is of niet.
Bij het substitueren van s = jω, moet F(s) eenvoudige polen bezitten en de residuen moeten reëel en positief zijn.
Eigenschappen van positieve reële functies
Er zijn vier zeer belangrijke eigenschappen van positieve reële functies en ze staan hieronder:
Zowel de teller als de noemer van F(s) moeten Hurwitz-polynomen zijn.
De graad van de teller van F(s) mag de graad van de noemer niet meer dan één overstijgen. Met andere woorden, (m-n) moet kleiner of gelijk zijn aan één.
Als F(s) een positieve reële functie is, dan moet ook het omgekeerde van F(s) een positieve reële functie zijn.
Onthoud dat de som van twee of meer positieve reële functies ook een positieve reële functie is, maar in het geval van het verschil kan het wel of niet een positieve reële functie zijn.
Hieronder staan de vier noodzakelijke, maar niet voldoende, voorwaarden voor functies om een positieve reële functie te zijn:
De coëfficiënten van het polynoom moeten reëel en positief zijn.
De graad van de teller van F(s) mag de graad van de noemer niet meer dan één overstijgen. Met andere woorden, (m – n) moet kleiner of gelijk zijn aan één.
Polen en nullen op de imaginaire as moeten eenvoudig zijn.
Laten we de coëfficiënten van de noemer van F(s) bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0 overwegen. Hierbij moet worden opgemerkt dat bn, b
