Mrežna sinteza | Hurwitzov polinom | Pozitivne realne funkcije
Teorija sinteze mreže
Funkcije mreže
Teorija sinteze mreže uključuje sintezu mreža sastavljenih od aktivnih komponenti (poput otpornika) i pasivnih komponenti (poput induktivnosti i kapacitanci).
Počnimo s osnovama: što je funkcija mreže? U frekvencijskom domeni, funkcije mreže definirane su kao kvocijent dobiven dijeljenjem fazora koji odgovara izlazu kruga sa fazorom koji odgovara ulazu kruga.
U jednostavnim riječima, funkcije mreže predstavljaju omjer izlaznog fazora i ulaznog fazora kada fazori postoje u frekvencijskom domeni. Opća forma funkcija mreže dana je ispod:
Sada, pomoću opće funkcije mreže, možemo opisati nužne uvjete za stabilnost svih funkcija mreže. Postoji tri glavna nužna uvjeta za stabilnost ovih funkcija mreže, a oni su navedeni ispod:
Stupanj brojnika F(s) ne smije preći stupanj nazivnika više od jedinice. Drugim riječima, (m – n) treba biti manji ili jednak jedan.
F(s) ne smije imati višestruke polove na jω-osi ili y-osi dijagrama polova i nula.
F(s) ne smije imati polove na desnoj strani s-ravnine.
Hurwitzov polinom
Ako su ispunjeni svi kriteriji stabilnosti (tj. imamo stabilnu funkciju mreže), tada se nazivnik F(s) naziva Hurwitzov polinom.
Gdje je Q(s) Hurwitzov polinom.
Svojstva Hurwitzovih polinoma
Postoji pet važnih svojstava Hurwitzovih polinoma, a ona su navedena ispod:
Za sve realne vrijednosti s, vrijednost funkcije P(s) treba biti realna.
Realni dio svakog korijena treba biti ili nula ili negativan.
Neka su koeficijenti nazivnika F(s) bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0. Trebalo bi napomenuti da bn, b(n-1), b0 moraju biti pozitivni, a bn i b(n-1) ne smiju biti istovremeno jednaki nuli.
Nastavak razlomka čak i neparnog dijela Hurwitzovog polinoma treba dati sve pozitivne kvocijente, ako je stupanj parnog dijela veći, ili nastavak razlomka neparnog dijela prema parnom dijelu Hurwitzovog polinoma treba dati sve pozitivne kvocijente, ako je stupanj neparnog dijela veći.
U slučaju isključivo parnog ili isključivo neparnog polinoma, moramo izvršiti nastavak razlomka derivacije isključivo parnog ili isključivo neparnog polinoma, a ostatak postupka je isti kao što je navedeno u točki broj (4).
Iz gornje rasprave zaključujemo jedan vrlo jednostavan rezultat, ako su svi koeficijenti kvadratnog polinoma realni i pozitivni, tada je taj kvadratni polinom uvijek Hurwitzov polinom.
Pozitivne realne funkcije
Bilo koja funkcija oblika F(s) zvat će se pozitivna realna funkcija ako ispunjava ova četiri važna uvjeta:
F(s) treba daje realne vrijednosti za sve realne vrijednosti s.
P(s) treba biti Hurwitzov polinom.
Ako zamijenimo s = jω, na odvajanje realnog i imaginarnog dijela, realni dio funkcije treba biti veći ili jednak nuli, tj. treba biti nenegativan. Ovo je najvažniji uvjet i često ćemo ga koristiti kako bismo utvrdili je li funkcija pozitivna realna ili ne.
Na zamjenu s = jω, F(s) treba posjedovati jednostavne polove, a rezidui trebaju biti realni i pozitivni.
Svojstva pozitivnih realnih funkcija
Postoji četiri vrlo važna svojstva pozitivnih realnih funkcija, a ona su navedena ispod:
I brojnik i nazivnik F(s) trebaju biti Hurwitzovi polinomi.
Stupanj brojnika F(s) ne smije preći stupanj nazivnika više od jedinice. Drugim riječima, (m-n) treba biti manji ili jednak jedan.
Ako je F(s) pozitivna realna funkcija, tada i recipročna vrijednost F(s) treba biti pozitivna realna funkcija.
Zapamtite, zbroj dvije ili više pozitivnih realnih funkcija također je pozitivna realna funkcija, ali u slučaju razlike, može biti ili ne mora biti pozitivna realna funkcija.
Sljedeći su četiri nužna, ali ne dovoljna uvjeta da funkcija bude pozitivna realna funkcija, a oni su navedeni ispod:
Koeficijenti polinoma moraju biti realni i pozitivni.
Stupanj brojnika F(s) ne smije preći stupanj nazivnika više od jedinice. Drugim riječima, (m – n) treba biti manji ili jednak jedan.
Polovi i nule na imaginarnoj osi trebaju biti jednostavni.
Neka su koeficijenti nazivnika F(s) bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0. Trebalo bi napomenuti da b
