Hálózat-szintézis | Hurwitz-polinom | Pozitív valós függvények
A hálózat-szintézis elmélete
Hálózati függvények
A hálózat-szintézis elmélet aktív (pl. ellenállások) és passzív (pl. tekercsek és kondenzátorok) komponensekből álló hálózatok szintézisével foglalkozik.
Kezdjük az alapokkal: mi a hálózati függvény? A frekvencia tartományban a hálózati függvényeket úgy definiáljuk, mint a kimeneti fasor és a bemeneti fasor hányadosát.
Egyszerűen fogalmazva, a hálózati függvények a kimeneti fasor és a bemeneti fasor hányadosa, amikor a fasorok a frekvencia tartományban léteznek. A hálózati függvények általános formája a következő:
Most, a fenti általános hálózati függvény segítségével leírhatjuk a hálózati függvények stabilitásának szükséges feltételeit. Három fő szükséges feltétel van a hálózati függvények stabilitásához, amelyek a következők:
Az F(s) számlálójának foka nem haladhatja meg a nevező fokát egynél több, más szóval (m – n) legfeljebb egy lehet.
Az F(s)-nek nem lehet többszörös pólusai a jω-tengelyen vagy a pólus-zérus diagram y-tengelyén.
Az F(s)-nek nem lehet pólusai az s-sík jobb oldalán.
Hurwitz polinom
Ha minden stabilitási kritérium teljesül (azaz stabil hálózati függvényünk van), akkor az F(s) nevezőjét Hurwitz polinomnak nevezzük.
Ahol Q(s) egy Hurwitz polinom.
Hurwitz polinomok tulajdonságai
Öt fontos tulajdonsága van a Hurwitz polinomoknak, amelyek a következők:
Minden valós s érték esetén a P(s) függvény értéke valós kell, hogy legyen.
Minden gyök valós része nulla vagy negatív kell, hogy legyen.
Tegyük fel, hogy az F(s) nevezőjének együtthatói bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0. Itt megjegyzendő, hogy bn, b(n-1), b0 pozitívnak kell lenni, és bn és b(n-1) nem lehet egyszerre nulla.
A Hurwitz polinom páros és páratlan részének folyamatos tört kiterjesztése minden pozitív hányados tagot ad, ha a páros fok magasabb, vagy a páratlan és páros részek folyamatos tört kiterjesztése minden pozitív hányados tagot ad, ha a páratlan fok magasabb.
Csakis páros vagy csakis páratlan polinom esetén a folyamatos tört kiterjesztés a teljesen páros vagy teljesen páratlan polinom deriváltjával történik, a többi eljárás pedig megegyezik a 4. pontban említetttel.
A fenti vitából egy nagyon egyszerű eredményre jutunk: Ha a kvadratikus polinom minden együtthatója valós és pozitív, akkor az mindig Hurwitz polinom.
Pozitív valós függvények
Bármilyen F(s) formájú függvényt pozitív valós függvénynek nevezünk, ha teljesíti ezeket a négy fontos feltételt:
Az F(s) minden valós s érték esetén valós értéket kell adjon.
A P(s) egy Hurwitz polinom kell, hogy legyen.
Ha behelyettesítjük, hogy s = jω, és elválasztjuk a valós és imaginárius részeket, akkor a függvény valós része nemnegatív kell, hogy legyen. Ez a legfontosabb feltétel, és gyakran használjuk ezt a feltételt arra, hogy megállapítsuk, hogy a függvény pozitív valós-e vagy sem.
Ha behelyettesítjük, hogy s = jω, az F(s) egyszerű pólusokat kell, hogy tartalmazzon, és a reziduumok valósak és pozitívak kell, hogy legyenek.
Pozitív valós függvények tulajdonságai
Négy nagyon fontos tulajdonsága van a pozitív valós függvényeknek, és ezek a következők:
Az F(s) számlálója és nevezője is Hurwitz polinomok kell, hogy legyenek.
Az F(s) számlálójának foka nem haladhatja meg a nevező fokát egynél több, más szóval (m-n) legfeljebb egy lehet.
Ha az F(s) pozitív valós függvény, akkor annak reciprokja is pozitív valós függvény kell, hogy legyen.
Két vagy több pozitív valós függvény összege is pozitív valós függvény, de különbségük esetén pozitív valós függvény lehet, de nem feltétlenül.
A következők a pozitív valós függvények szükséges, de nem elégséges feltételei, és ezek a következők:
A polinom együtthatói valósak és pozitívak kell, hogy legyenek.
Az F(s) számlálójának foka nem haladhatja meg a nevező fokát egynél több, más szóval (m – n) legfeljebb egy lehet.
A képzetes tengelyen lévő pólusok és zérusok egyszerűek kell, hogy legyenek.
Tegyük fel, hogy az F(s) nevezőjének együtthatói bn, b(n-1), b
