Ağ Sentezi | Hurwitz Polinomu | Pozitif Gerçek Fonksiyonlar

Ağ Sentezi Teorisi

Ağ Fonksiyonları

Ağ sentezi teorisi, dirençler gibi aktif bileşenler ve endüktörler ve kondansatörler gibi pasif bileşenlerden oluşan ağların sentezini içerir.

Temel bilgilerle başlayalım: ağ fonksiyonu nedir? Frekans alanında, ağ fonksiyonları, devre çıkışına karşılık gelen fazörün devre girişine karşılık gelen fazöre bölünerek elde edilen bölüm olarak tanımlanır.

Basit bir şekilde ifade edersek, ağ fonksiyonları, frekans alanında fazörler varken çıkış fazörü ile giriş fazörü arasındaki oranıdır. Ağ fonksiyonlarının genel formu aşağıdaki gibidir:

Yukarıdaki genel ağ fonksiyonu yardımıyla, tüm ağ fonksiyonlarının istikrarı için gerekli koşulları tanımlayabiliriz. Bu ağ fonksiyonlarının istikrarı için üç ana gerekli koşul vardır ve aşağıda yazmaktadır:

1. F(s)’nin payının derecesi, paydanın derecesinden bir birimden fazla geçmemelidir. Başka bir deyişle (m – n) bir veya daha küçük olmalıdır.

2. F(s)’nin jω ekseninde veya kutup-sıfır grafiğinin y ekseninde çoklu kutupları olmamalıdır.

3. F(s)’nin s-düzleminin sağ yarısında kutupları olmamalıdır.

Hurwitz Polinomu

Eğer yukarıdaki tüm istikrar kriterleri yerine getirilirse (yani istikrarlı bir ağ fonksiyonumuz varsa), F(s)’nin paydası Hurwitz polinomu olarak adlandırılır.

Burada, Q(s) bir Hurwitz polinomudur.

Hurwitz Polinomlarının Özellikleri

Hurwitz polinomlarının beş önemli özelliği vardır ve bunlar aşağıda belirtilmiştir:

1. s’nin tüm gerçek değerleri için P(s) fonksiyonunun değeri gerçek olmalıdır.

2. Her kökün gerçek kısmı ya sıfır olmalı ya da negatif olmalıdır.

3. F(s)’nin paydasının katsayılarını bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0 olarak düşünelim. Burada, bn, b(n-1), b0 pozitif olmalı ve bn ve b(n-1) aynı anda sıfır olmamalıdır.

4. Hurwitz polinomunun çift kısmının tek kısmına sürekli kesir açılımı, eğer çift derece daha yüksekse, tüm pozitif bölüm terimleri vermelidir, ya da tek derece daha yüksekse, Hurwitz polinomunun tek kısmının çift kısmına sürekli kesir açılımı, tüm pozitif bölüm terimleri vermelidir.

5. Saf olarak çift veya saf olarak tek polinom durumunda, saf olarak çift veya saf olarak tek polinomun türeviyle sürekli kesir yapmalıyız ve diğer prosedür, dördüncü maddede belirtildiği gibidir.

Yukarıdaki tartışmadan, sonucu basit bir sonuç çıkarıyoruz, Eğer ikinci dereceden polinomun tüm katsayıları gerçek ve pozitifse, bu ikinci dereceden polinom her zaman bir Hurwitz polinomudur.

Pozitif Gerçek Fonksiyonlar

F(s) formundaki herhangi bir fonksiyon, bu dört önemli koşulu yerine getirirse, pozitif gerçek fonksiyon olarak adlandırılacaktır:

1. F(s), s'nin tüm gerçek değerleri için gerçek değerler vermelidir.

2. P(s) bir Hurwitz polinomu olmalıdır.

3. Eğer s = jω olarak yerine koyarsak, gerçek ve sanal kısımları ayırarak, fonksiyonun gerçek kısmı sıfır veya daha büyük olmalıdır, yani negatif olmamalıdır. Bu en önemli koşuldur ve bu koşulu sıkça kullanacağız, fonksiyonun pozitif gerçek olup olmadığını belirlemek için.

4. s = jω olarak yerine koyduğumuzda, F(s) basit kutuplara sahip olmalı ve artıklar gerçek ve pozitif olmalıdır.

Pozitif Gerçek Fonksiyonların Özellikleri

Pozitif gerçek fonksiyonların dört önemli özelliği vardır ve bunlar aşağıda belirtilmiştir:

1. F(s)’nin hem payı hem de paydası Hurwitz polinomları olmalıdır.

2. F(s)’nin payının derecesi, paydanın derecesinden bir birimden fazla geçmemelidir. Başka bir deyişle (m-n) bir veya daha küçük olmalıdır.

3. Eğer F(s) pozitif gerçek fonksiyon ise, F(s)’nin tersi de pozitif gerçek fonksiyon olmalıdır.

4. İki veya daha fazla pozitif gerçek fonksiyonun toplamı da pozitif gerçek fonksiyondur, ancak fark durumunda pozitif gerçek olmayabilir.

Aşağıdaki dört koşul, pozitif gerçek fonksiyon olmak için gerekli ama yeterli değildir ve aşağıda belirtilmiştir:

1. Polinomun katsayıları gerçek ve pozitif olmalıdır.

2. F(s)’nin payının derecesi, paydanın derecesinden bir birimden fazla geçmemelidir. Başka bir deyişle (m – n) bir veya daha küçük olmalıdır.

3. Kutuplar ve sıfırlar hayali eksen üzerinde basit olmalıdır.

4. F(s)’nin paydasının katsayılarını bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0 olarak düşünelim. Burada, bn, b(n-1), b0 pozitif olmalı ve b

   Bahşiş