Synthesis Reticulorum | Polynomium Hurwitzianum | Functiones Realiter Positivae

Theoriae Synthesis Reticuli

Functiones Reticuli

Theoria synthesis reticuli involvit synthetem reticulorum ex componentibus activis (sicut resistores) et passivis (sicut inductores et capacitores) composita.

Incipiamus ab elementis: quid est functio reticuli? In domino frequentiae, functiones reticuli definiuntur ut quotiens obtinendus dividendo phasorem correspondens output circuiti per phasorem correspondens input circuiti.

In verbis simplicibus, functiones reticuli sunt ratio phasoris output ad phasoris input quando phasori existunt in domino frequentiae. Forma generalis functionum reticuli datur infra:

Nunc cum adiutorio praecedentis functionis reticuli generalis, possumus describere conditiones necessarias pro stabilitate omnium functionum reticuli. Sunt tres conditiones principes necessariae pro stabilitate harum functionum reticuli et scribuntur infra:

1. Gradus numeratori F(s) non debet superare gradum denominatoris plus quam unitatem. Alio modo (m – n) debet esse minus vel aequale uni.

2. F(s) non debet habere polos multiplices in axe jω sive axe y diagrammati poli-zeros.

3. F(s) non debet habere polos in dextera parte plani s.

Polynomium Hurwitzianum

Si omnes criteria stabilitatis implentur (i.e. habemus functionem reticuli stabilis) tunc denominator F(s) vocatur polynomium Hurwitzianum.

Ubi, Q(s) est polynomium Hurwitzianum.

Proprietates Polynomiorum Hurwitzianorum

Sunt quinque proprietates importantissimae polynomiorum Hurwitzianorum et scribuntur infra:

1. Pro omnibus valoribus realibus s, valor functionis P(s) debet esse realis.

2. Partis realis cuiuslibet radicis debet esse vel nulla vel negativa.

3. Consideremus coefficientes denominatoris F(s) sint bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0. Hic notandum est bn, b(n-1), b0 debent esse positivi et bn et b(n-1) non debent esse nulli simul.

4. Expansio fractionis continuatae pars parvae ad partem imparis polynomii Hurwitziani debet dare omnes terminos quotientis positivos, si gradus parvae est maior, aut expansio fractionis continuatae pars imparis ad partem parvae polynomii Hurwitziani debet dare omnes terminos quotientis positivos, si gradus imparis est maior.

5. In casu puriter parvae vel puriter imparis, facimus expansionem fractionis derivativi puriter parvae vel puriter imparis et cetera procedunt sicut in puncto numero (4).

Ex praecedenti disputatione concludimus unum resultatum simplicissimum, si omnes coefficientes polynomii quadratici sunt reales et positivi, tunc ille polynomius quadraticus semper est polynomium Hurwitzianum.

Functiones Reales Positivae

Omnis functio quae est forma F(s) vocabitur