سنتز شبکه | چندجمله‌ای هریویتز | توابع حقیقی مثبت

نظریه سنتز شبکه

توابع شبکه

نظریه سنتز شبکه شامل سنتز شبکه‌هایی است که از مولفه‌های فعال (مانند مقاومت‌ها) و مولفه‌های غیرفعال (مانند القایی‌ها و خازنهای برق) تشکیل شده‌اند.

بیایید با مبانی شروع کنیم: تابع شبکه چیست? در حوزه فرآیند، توابع شبکه به عنوان خارج قسمتی تعریف می‌شوند که فازور متناظر با خروجی مدار را بر فازور متناظر با ورودی مدار تقسیم می‌کند.

به عبارت ساده، توابع شبکه نسبت فازور خروجی به فازور ورودی هنگامی که فازورها در حوزه فرآیند وجود دارند، می‌باشند. فرم عمومی توابع شبکه به صورت زیر ارائه می‌شود:

حالا با کمک تابع شبکه عمومی بالا، می‌توانیم شرایط لازم برای پایداری تمامی توابع شبکه را توصیف کنیم. سه شرط اصلی لازم برای پایداری این توابع شبکه وجود دارد و آن‌ها در زیر ذکر شده‌اند:

1. درجه صورت F(s) نباید بیش از یک واحد از درجه مخرج بیشتر باشد. به عبارت دیگر (m – n) باید کمتر یا مساوی یک باشد.

2. F(s) نباید قطب‌های مضاعف روی محور jω یا محور y داشته باشد.

3. F(s) نباید قطب‌هایی در نیمه راست صفحه s داشته باشد.

چندجمله‌ای هورویتز

اگر تمام شرایط پایداری بالا برقرار باشند (یعنی ما تابع شبکه پایداری داریم)، مخرج F(s) به عنوان چندجمله‌ای هورویتز شناخته می‌شود.

که در آن، Q(s) یک چندجمله‌ای هورویتز است.

ویژگی‌های چندجمله‌ای‌های هورویتز

پنج ویژگی مهم چندجمله‌ای‌های هورویتز وجود دارد و آن‌ها در زیر ذکر شده‌اند:

1. برای تمام مقادیر حقیقی s، مقدار تابع P(s) باید حقیقی باشد.

2. بخش حقیقی هر ریشه باید صفر یا منفی باشد.

3. فرض کنید ضرایب مخرج F(s) برابر bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0 باشد. باید توجه داشت که bn, b(n-1), b0 باید مثبت باشند و bn و b(n-1) نباید همزمان صفر باشند.

4. توسعه کسر مداوم قسمت زوج به قسمت فرد یا چندجمله‌ای هورویتز باید تمامی خارج قسمت‌های مثبت را ارائه دهد، اگر درجه زوج بزرگتر باشد یا توسعه کسر مداوم قسمت فرد به قسمت زوج یا چندجمله‌ای هورویتز باید تمامی خارج قسمت‌های مثبت را ارائه دهد، اگر درجه فرد بزرگتر باشد.

5. در صورتی که چندجمله‌ای فقط زوج یا فقط فرد باشد، باید توسعه کسر را با مشتق چندجمله‌ای فقط زوج یا فقط فرد انجام دهیم و بقیه روش مانند آنچه در نقطه شماره (4) ذکر شده است.

از بحث فوق می‌توان نتیجه‌ای بسیار ساده گرفت، اگر تمام ضرایب چندجمله‌ای درجه دوم حقیقی و مثبت باشند، آن چندجمله‌ای همواره یک چندجمله‌ای هورویتز است.

توابع حقیقی مثبت

هر تابعی که به صورت F(s) باشد، یک تابع حقیقی مثبت خواهد بود اگر این چهار شرط مهم را برآورده کند:

1. F(s) باید مقادیر حقیقی را برای تمام مقادیر حقیقی s ارائه دهد.

2. P(s) باید یک چندجمله‌ای هورویتز باشد.

3. اگر s = jω جایگزین شود، با جدا کردن بخش‌های حقیقی و موهومی، بخش حقیقی تابع باید بزرگتر یا مساوی صفر باشد، یعنی باید غیرمنفی باشد. این شرط بسیار مهم است و ما اغلب از آن برای تعیین اینکه تابع حقیقی مثبت است یا نه، استفاده می‌کنیم.

4. اگر s = jω جایگزین شود، F(s) باید قطب‌های ساده داشته باشد و باقیمانده‌ها باید حقیقی و مثبت باشند.

ویژگی‌های توابع حقیقی مثبت

چهار ویژگی بسیار مهم توابع حقیقی مثبت وجود دارد و آن‌ها در زیر ذکر شده‌اند:

1. هم صورت و هم مخرج F(s) باید چندجمله‌ای‌های هورویتز باشند.

2. درجه صورت F(s) نباید بیش از یک واحد از درجه مخرج بیشتر باشد. به عبارت دیگر (m-n) باید کمتر یا مساوی یک باشد.

3. اگر F(s) یک تابع حقیقی مثبت باشد، معکوس F(s) نیز باید یک تابع حقیقی مثبت باشد.

4. جمع دو یا چند تابع حقیقی مثبت نیز یک تابع حقیقی مثبت است، اما در مورد تفریق ممکن است حقیقی مثبت باشد یا نباشد.

چهار شرط زیر ضروری اما کافی نیستند برای اینکه تابع یک تابع حقیقی مثبت باشد و آن‌ها در زیر ذکر شده‌اند:

1. ضرایب چندجمله‌ای باید حقیقی و مثبت باشند.

2. درجه صورت F(s) نباید بیش از یک واحد از در