Verkkojen synteesi | Hurwitzin polynomi | Positiiviset reaaliarvofunktiot

Verkkojen synteesin teoria

Verkkofunktiot

Verkkojen synteesin teoria käsittää verkkojen synteesin, jotka koostuvat sekä aktiivisista komponenteista (kuten vastuista) että passiivisista komponenteista (kuten induktoreista ja kondensaattoreista).

Aloitetaan perusteista: mikä on verkkofunktio? Taajuusalueella verkkofunktiot määritellään osamääränä, joka saadaan jakamalla kytkentän ulosmenon fasor kytkentän sisääntulon fasorilla.

Yksinkertaisesti sanottuna verkkofunktiot ovat ulosmenon fasorin ja sisääntulon fasorin suhde, kun fasorit ovat taajuusalueella. Verkkofunktioiden yleinen muoto on seuraava:

Yllä olevan yleisen verkkofunktion avulla voimme kuvailla vakaudesta vaadittavia ehtoja kaikille verkkofunktioille. On kolme pääasiallista ehtoa näiden verkkofunktioiden vakaudelle, ja ne on kirjoitettu alla:

1. F(s):n osoittajan aste ei saa ylittää nimittäjän astetta enempää kuin yhdellä. Toisin sanoen (m – n) tulisi olla pienempi tai yhtä suuri kuin yksi.

2. F(s):lla ei saa olla useita nappeja jω-akselilla tai napajakauman y-akselilla.

3. F(s):lla ei saa olla nappeja s-tason oikeassa puoliskossa.

Hurwitz-polynomi

Jos kaikki vakauden kriteerit täyttyvät (eli meillä on vakaa verkkofunktio), niin F(s):n nimittäjä kutsutaan Hurwitz-polynomiksi.

Missä Q(s) on Hurwitz-polynomi.

Hurwitz-polynomien ominaisuudet

On viisi tärkeää Hurwitz-polynomien ominaisuutta, ja ne on kirjoitettu alla:

1. Kaikilla reaalisilla s:n arvoilla P(s)-funktion arvon tulisi olla reaaliluku.

2. Jokaisen juuren reaaliosa tulisi olla joko nolla tai negatiivinen.

3. Oletetaan, että F(s):n nimittäjän kertoimet ovat bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0. Tässä on huomattava, että bn, b(n-1), b0 tulisi olla positiivisia, ja bn ja b(n-1) ei saa olla nollia samanaikaisesti.

4. Parillisesta osasta parittomaan osaan jatkettu murtolukuhajotelma Hurwitz-polynomista tulisi antaa kaikki positiiviset osamääratermit, jos parillinen aste on korkeampi, tai parittomasta osasta parilliseen osaan jatkettu murtolukuhajotelma Hurwitz-polynomista tulisi antaa kaikki positiiviset osamääratermit, jos pariton aste on korkeampi.

5. Todennäköisesti pelkästään parillisen tai pelkästään parittoman polynomin tapauksessa meidän on tehtävä jatkuva murtolukuhajotelma derivaatan avulla, ja loput menettely on sama kuin edellä mainituissa kohdissa (4).

Yllä mainitusta keskustelusta voidaan päätellä hyvin yksinkertainen tulos, jos kaikki toisen asteen polynomin kertoimet ovat reaalisia ja positiivisia, niin kyseinen toisen asteen polynomi on aina Hurwitz-polynomi.

Positiiviset reaalifunktiot

Mikä tahansa funktio, joka on muodossa F(s), kutsutaan positiiviseksi reaalifunktioksi, jos se täyttää nämä neljä tärkeää ehtoa:

1. F(s) tulisi antaa reaalilukuja kaikilla reaalisilla s:n arvoilla.

2. P(s) tulisi olla Hurwitz-polynomi.

3. Jos sijoitamme s = jω, niin erottamalla reaaliosan ja imaginaariosan, funktion reaaliosa tulisi olla suurempi tai yhtä suuri kuin nolla, eli se tulisi olla epänegatiivinen. Tämä on tärkein ehto, ja käytämme sitä usein selvittääksemme, onko funktio positiivinen reaalifunktio vai ei.

4. Sijoittamalla s = jω, F(s) tulisi omaa yksinkertaisia nappeja, ja residyt tulisi olla reaalisia ja positiivisia.

Positiivisten reaalifunktioiden ominaisuudet

On neljä erittäin tärkeää positiivisten reaalifunktioiden ominaisuutta, ja ne on kirjoitettu alla:

1. F(s):n sekä osoittajan että nimittäjän tulisi olla Hurwitz-polynomeja.

2. F(s):n osoittajan aste ei saa ylittää nimittäjän astetta enempää kuin yhdellä. Toisin sanoen (m-n) tulisi olla pienempi tai yhtä suuri kuin yksi.

3. Jos F(s) on positiivinen reaalifunktio, niin sen käänteisluku tulisi myös olla positiivinen reaalifunktio.

4. Kaksi tai useampi positiivisen reaalifunktion summa on myös positiivinen reaalifunktio, mutta erotuksen tapauksessa se voi olla tai ei olla positiivinen reaalifunktio.

Seuraavat ovat neljä tarpeellista, mutta ei riittävää ehtoa funktioiden olemassaololle positiivisena reaalifunktiona, ja ne on kirjoitettu alla:

1. Polynomin kertoimet tulisi olla reaalisia ja positiivisia.

2. F(s):n osoittajan aste ei saa ylittää nimittäjän astetta enempää kuin yhdellä. Toisin sanoen (m – n) tulisi olla pienempi tai yhtä suuri kuin yksi.

3. Napit ja nollakohdat imaginääriakselilla tulisi olla yksinkertaisia.

4. Oletetaan, että F(s):n nimittäjän kertoimet ovat bn, b(n-1), b