Synthèse de Réseau | Polynôme de Hurwitz | Fonctions à Partie Réelle Positive

Théorie de la synthèse de réseau

Fonctions de réseau

La théorie de la synthèse de réseau implique la synthèse de réseaux composés à la fois de composants actifs (comme les résistances) et de composants passifs (comme les inductances et les condensateurs).

Commençons par les bases : qu'est-ce qu'une fonction de réseau? Dans le domaine fréquentiel, les fonctions de réseau sont définies comme le quotient obtenu en divisant le phaseur correspondant à la sortie du circuit par le phaseur correspondant à l'entrée du circuit.

En termes simples, les fonctions de réseau sont le rapport entre le phaseur de sortie et le phaseur d'entrée lorsque les phaseurs existent dans le domaine fréquentiel. La forme générale des fonctions de réseau est donnée ci-dessous:

Avec l'aide de la fonction de réseau générale ci-dessus, nous pouvons décrire les conditions nécessaires pour la stabilité de toutes les fonctions de réseau. Il existe trois principales conditions nécessaires pour la stabilité de ces fonctions de réseau, qui sont écrites ci-dessous :

1. Le degré du numérateur de F(s) ne doit pas dépasser le degré du dénominateur de plus d'une unité. En d'autres termes, (m – n) doit être inférieur ou égal à un.

2. F(s) ne doit pas avoir de pôles multiples sur l'axe jω ou l'axe y du diagramme pôle-zéro.

3. F(s) ne doit pas avoir de pôles dans la moitié droite du plan s.

Polynôme de Hurwitz

Si tous les critères de stabilité sont remplis (c'est-à-dire que nous avons une fonction de réseau stable), alors le dénominateur de F(s) est appelé polynôme de Hurwitz.

Où, Q(s) est un polynôme de Hurwitz.

Propriétés des polynômes de Hurwitz

Il existe cinq propriétés importantes des polynômes de Hurwitz, qui sont écrites ci-dessous :

1. Pour toutes les valeurs réelles de s, la valeur de la fonction P(s) doit être réelle.

2. La partie réelle de chaque racine doit être soit nulle, soit négative.

3. Considérons que les coefficients du dénominateur de F(s) sont bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0. Il convient de noter que bn, b(n-1), b0 doivent être positifs et bn et b(n-1) ne doivent pas être égaux à zéro simultanément.

4. L'expansion en fraction continue de la partie paire à la partie impaire du polynôme de Hurwitz doit donner tous les termes de quotient positifs, si le degré pair est supérieur, ou l'expansion en fraction continue de la partie impaire à la partie paire du polynôme de Hurwitz doit donner tous les termes de quotient positifs, si le degré impair est supérieur.

5. Dans le cas d'un polynôme purement pair ou purement impair, nous devons faire une fraction continue avec la dérivée du polynôme purement pair ou purement impair, et le reste de la procédure est le même que mentionné au point numéro (4).

À partir de la discussion ci-dessus, nous concluons un résultat très simple, si tous les coefficients du polynôme quadratique sont réels et positifs, alors ce polynôme quadratique est toujours un polynôme de Hurwitz.

Fonctions réelles positives

Toute fonction sous la forme de F(s) sera appelée fonction réelle positive si elle remplit ces quatre conditions importantes :

1. F(s) doit donner des valeurs réelles pour toutes les valeurs réelles de s.

2. P(s) doit être un polynôme de Hurwitz.

3. Si nous substituons s = jω, en séparant les parties réelles et imaginaires, la partie réelle de la fonction doit être supérieure ou égale à zéro, c'est-à-dire non négative. C'est cette condition la plus importante et nous l'utiliserons fréquemment pour déterminer si la fonction est réelle positive ou non.

4. En substituant s = jω, F(s) doit posséder des pôles simples et les résidus doivent être réels et positifs.

Propriétés des fonctions réelles positives

Il existe quatre propriétés très importantes des fonctions réelles positives et elles sont écrites ci-dessous :

1. À la fois le numérateur et le dénominateur de F(s) doivent être des polynômes de Hurwitz.

2. Le degré du numérateur de F(s) ne doit pas dépasser le degré du dénominateur de plus d'une unité. En d'autres termes, (m-n) doit être inférieur ou égal à un.

3. Si F(s) est une fonction réelle positive, alors son inverse doit également être une fonction réelle positive.

4. Rappelez-vous que la somme de deux ou plusieurs fonctions réelles positives est également une fonction réelle positive, mais dans le cas de la différence, elle peut ou non être une fonction réelle positive.

Voici les quatre conditions nécessaires mais non suffisantes pour que les fonctions soient des fonctions réelles positives, et elles sont écrites ci-dessous :

1. Les coefficients du polynôme doivent être réels et positifs.

2. Le degré du numérateur de F(s) ne doit pas dépasser le degré du dénominateur de plus d'une unité. En d'autres termes, (m – n) doit être inférieur ou égal à un.

3. Les pôles et les zéros sur l'axe imaginaire doivent être simples.

4. Considérons que les coefficients du dénominateur de F(s) sont bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0. Il convient de noter que bn, b(n-1), b

   Pourboire