Síntesi de xarxes | Polinomi de Hurwitz | Funcions realment positives

Teoria de la Síntesi de Xarxes

Funcions de Xarxa

La teoria de la síntesi de xarxes implica la síntesi de xarxes compostes tant per components actius (com resistors) com passius (com inductors i condensadors).

què és una funció de xarxa? En el domini de la freqüència, les funcions de xarxa es defineixen com el quocient obtingut dividint el fasor corresponent a la sortida del circuit pel fasor corresponent a l'entrada del circuit.

En paraules simples, les funcions de xarxa són la raó entre el fasor de sortida i el fasor d'entrada quan els fasors existeixen en el domini de la freqüència. La forma general de les funcions de xarxa es dona a continuació:

Ara, amb l'ajuda de la funció de xarxa general anterior, podem descriure les condicions necessàries per a la estabilitat de totes les funcions de xarxa. Hi ha tres condicions principals necessàries per a la estabilitat d'aquestes funcions de xarxa i es detallen a continuació:

1. El grau del numerador de F(s) no hauria de superar el grau del denominador en més d'una unitat. En altres paraules, (m – n) hauria de ser menor o igual a un.

2. F(s) no hauria de tenir pols múltiples en l'eix jω o l'eix y del diagrama de pols i zeros.

3. F(s) no hauria de tenir pols en la meitat dreta del pla s.

Polinomi de Hurwitz

Si es compleixen tots els criteris d'estabilitat (és a dir, tenim una funció de xarxa estable), llavors el denominador de F(s) es diu polinomi de Hurwitz.

On, Q(s) és un polinomi de Hurwitz.

Propietats dels Polinomis de Hurwitz

Hi ha cinc propietats importants dels polinomis de Hurwitz i es detallen a continuació:

1. Per a tots els valors reals de s, el valor de la funció P(s) hauria de ser real.

2. La part real de cada arrel hauria de ser zero o negativa.

3. Considerem que els coeficients del denominador de F(s) són bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0. Cal notar que bn, b(n-1), b0 han de ser positius i bn i b(n-1) no haurien de ser zero simultàniament.

4. L'expansió de fracció contínua de la part parella a la part imparella del polinomi de Hurwitz hauria de donar tots els termes de quocients positius, si el grau parell és més alt, o l'expansió de fracció contínua de la part imparella a la part parella del polinomi de Hurwitz hauria de donar tots els termes de quocients positius, si el grau imparell és més alt.

5. En el cas de polinomis purament parells o purament imparells, hem de fer l'expansió de fracció contínua amb la derivada del polinomi purament parell o purament imparell, i el procediment restant és el mateix que el mencionat al punt número (4).

Després de la discussió anterior, conclourem un resultat molt simple, si tots els coeficients d'un polinomi quadràtic són reals i positius, llavors aquest polinomi quadràtic sempre és un polinomi de Hurwitz.

Funcions Positives Reals

Qualsevol funció que estigui en la forma de F(s) es denominarà funció positiva real si compleix aquests quatre condicions importants:

1. F(s) hauria de donar valors reals per a tots els valors reals de s.

2. P(s) hauria de ser un polinomi de Hurwitz.

3. Si substituïm s = jω, després de separar les parts real i imaginària, la part real de la funció hauria de ser major o igual a zero, és a dir, no hauria de ser negativa. Aquesta és la condició més important i la utilitzarem freqüentment per determinar si la funció és positiva real o no.

4. Substituint s = jω, F(s) hauria de tenir pols simples i els residus haurien de ser reals i positius.

Propietats de les Funcions Positives Reals

Hi ha quatre propietats molt importants de les funcions positives reals i es detallen a continuació:

1. Tanto el numerador com el denominador de F(s) haurien de ser polinomis de Hurwitz.

2. El grau del numerador de F(s) no hauria de superar el grau del denominador en més d'una unitat. En altres paraules, (m-n) hauria de ser menor o igual a un.

3. Si F(s) és una funció positiva real, llavors el seu recíproc també hauria de ser una funció positiva real.

4. Recorda que la suma de dues o més funcions positives reals també és una funció positiva real, però en el cas de la diferència, pot ser o no ser una funció positiva real.

Les següents són les quatre condicions necessàries, però no suficients, per a que les funcions siguin positives reals, i es detallen a continuació:

1. Els coeficients del polinomi han de ser reals i positius.

2. El grau del numerador de F(s) no hauria de superar el grau del denominador en més d'una unitat. En altres paraules, (m – n) hauria de ser menor o igual a un.

3. Els pols i zeros en l'eix imaginari haurien de ser simples.

4. Considerem que els coeficients del denominador de F(s) són bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0.Cal notar que bn, b

   Propina