Nätverks syntes | Hurwitz polynom | Positiva reella funktioner

Teori för nätverkssyntes

Nätverksfunktioner

Teorin om nätverkssyntes innefattar syntesen av nätverk som består både av aktiva komponenter (som motstånd) och passiva komponenter (som spolar och kondensatorer).

Låt oss börja med grunderna: vad är en nätverksfunktion? I frekvensdomänen definieras nätverksfunktioner som kvoten mellan fasornas vektorer som motsvarar kretsutgången och kretsingången.

Med andra ord, nätverksfunktioner är förhållandet mellan utgående fasor och ingående fasor när fasor existerar i frekvensdomänen. Den allmänna formen för nätverksfunktioner ges nedan:

Nu kan vi med hjälp av den ovanstående generella nätverksfunktionen beskriva de nödvändiga villkoren för stabiliteten av alla dessa nätverksfunktioner. Det finns tre huvudsakliga nödvändiga villkor för stabiliteten av dessa nätverksfunktioner, och de anges nedan:

1. Gradtalet för täljaren av F(s) ska inte överstiga gradtalet för nämnaren mer än med ett. Med andra ord (m – n) ska vara mindre än eller lika med ett.

2. F(s) ska inte ha flera poler på jω-axeln eller y-axeln i pol-nollplot.

3. F(s) ska inte ha poler på högra halvan av s-planen.

Hurwitzpolynom

Om alla stabilitetskriterier uppfylls (dvs. vi har en stabil nätverksfunktion) kallas nämnaren av F(s) för Hurwitzpolynom.

Där Q(s) är ett Hurwitzpolynom.

Egenskaper hos Hurwitzpolynom

Det finns fem viktiga egenskaper hos Hurwitzpolynom, och de anges nedan:

1. För alla reella värden av s ska värdet av funktionen P(s) vara reellt.

2. Den reella delen av varje rot ska vara antingen noll eller negativ.

3. Låt oss betrakta koefficienterna för nämnaren av F(s) som bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0. Här bör det noteras att bn, b(n-1), b0 måste vara positiva och bn och b(n-1) ska inte vara lika med noll samtidigt.

4. Fortlöpande bråkexpansionen av jämnt till udda delen av Hurwitzpolynomet ska ge alla positiva kvottermer, om jämn grad är högre, eller fortlöpande bråkexpansionen av udda till jämnt delen av Hurwitzpolynomet ska ge alla positiva kvottermer, om udda grad är högre.

5. I fallet med rent jämnt eller rent udda polynom måste vi göra fortlöpande bråk med derivatan av det rent jämna eller rent udda polynomet, och resten av proceduren är densamma som anges i punkt nummer (4).

Från ovanstående diskussion drar vi en mycket enkel slutsats, om alla koefficienter i det kvadratiska polynomet är reella och positiva så är det kvadratiska polynomet alltid ett Hurwitzpolynom.

Positiva reella funktioner

Alla funktioner som är i formen F(s) kommer att kallas positiv reell funktion om de uppfyller dessa fyra viktiga villkor:

1. F(s) ska ge reella värden för alla reella värden av s.

2. P(s) ska vara ett Hurwitzpolynom.

3. Om vi ersätter s = jω, så vid separation av de reella och imaginära delarna, ska den reella delen av funktionen vara större än eller lika med noll, dvs. den ska vara icke-negativ. Detta är det viktigaste villkoret och vi kommer ofta att använda detta villkor för att avgöra om funktionen är positiv reell eller inte.

4. Vid ersättning av s = jω, ska F(s) ha enkla poler och residuer ska vara reella och positiva.

Egenskaper hos positiva reella funktioner

Det finns fyra mycket viktiga egenskaper hos positiva reella funktioner, och de anges nedan:

1. Både täljaren och nämnaren av F(s) ska vara Hurwitzpolynom.

2. Gradtalet för täljaren av F(s) ska inte överstiga gradtalet för nämnaren mer än med ett. Med andra ord (m-n) ska vara mindre än eller lika med ett.

3. Om F(s) är en positiv reell funktion ska dess reciproka också vara en positiv reell funktion.

4. Kom ihåg att summan av två eller flera positiva reella funktioner är också en positiv reell funktion, men i fallet med differens kan det vara eller inte vara en positiv reell funktion.

Följande är de fyra nödvändiga men inte tillräckliga villkoren för att funktioner ska vara positiva reella funktioner, och de anges nedan:

1. Koefficienterna för polynomet måste vara reella och positiva.

2. Gradtalet för täljaren av F(s) ska inte överstiga gradtalet för nämnaren mer än med ett. Med andra ord (m – n) ska vara mindre än eller lika med ett.

3. Poler och nollor på den imaginära axeln ska vara enkla.

4. Låt oss betrakta koefficienterna för nämnaren av F(s) som bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0. Här bör det noteras att bn, b(n-1), b

   Belöning