Tīkla sintēze | Hurwitz polinoms | Pozitīvas reālas funkcijas
Tīkla sintēzes teorija
Tīkla funkcijas
Tīkla sintēzes teorija ietver gan aktīvo (piemēram, rezistori) gan pasīvo komponentu (piemēram, induktoru un kondensatoru) veidotu tīklu sintēzi.
Sāksim ar pamatiem: kas ir tīkla funkcija? Frekvences domēnā tīkla funkcijas definē kā kvocijentu, kas iegūts dalot šķidrināto vērtību, kas atbilst shēmas izvadei, ar šķidrināto vērtību, kas atbilst shēmas ievadei.
Viegli sakot, tīkla funkcijas ir izvades šķidrinātā vērtība attiecībā pret ievades šķidrināto vērtību, kad šķidrinātās vērtības eksistē frekvences domēnā. Tīkla funkciju vispārīgā forma ir nākamā:
Tagad, izmantojot augstāk minēto vispārīgo tīkla funkciju, mēs varam aprakstīt nepieciešamos stabilitātes nosacījumus visiem tīkla funkcijām. Ir trīs galveni nepieciešami stabilitātes nosacījumi šādiem tīkla funkcijām, un tie ir rakstīti zemāk:
F(s) skaitītāja pakāpe nevar pārsniegt saucēja pakāpi vairāk nekā vienu vienību. Citādi sakot, (m – n) jābūt mazākam vai vienādam ar vienu.
F(s) nevarētu būt vairāki poli uz jω ass vai y ass polu-nulles diagrammā.
F(s) nevarētu būt poli labajā s plaknes pusē.
Hurwitz polinoms
Ja visi stabilitātes kritēriji ir izpildīti (t.i., mums ir stabila tīkla funkcija), tad F(s) saucējs tiek saukts par Hurwitz polinomu.
Kur Q(s) ir Hurwitz polinoms.
Hurwitz polinomu īpašības
Ir piecas svarīgas Hurwitz polinomu īpašības, un tās ir rakstītas zemāk:
Visiem reālajiem s vērtībām P(s) funkcijas vērtība jābūt reālai.
Katras saknes reālā daļa jābūt vai nu nullei, vai negatīvai.
Apmēram, ja F(s) saucēja koeficienti ir bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0. Šeit jāatzīmē, ka bn, b(n-1), b0 jābūt pozitīviem un bn un b(n-1) nevar būt vienlaikus vienādi ar nulli.
Ja pataisne ir augstāka grāda, tad pataisnes daļas turpinātais frakcijas paplašinājums Hurwitz polinoma jādod visiem pozitīviem kvocijenta terminiem, vai, ja nepāra daļa ir augstāka, tad nepāra daļas turpinātais frakcijas paplašinājums Hurwitz polinoma jādod visiem pozitīviem kvocijenta terminiem.
Gandrīz tikai pataisnē vai tikai nepāra polinomā, mēs jāveic turpinātais frakcijas paplašinājums ar pataisnes vai nepāra polinoma atvasinājumu, un pārējā procedūra ir tāda pati, kā norādīts punktā numurs (4).
No augstāk minētā diskusijas mēs nonākam pie viena ļoti vienkārša rezultāta, ja kvadrātpolinoma visi koeficienti ir reāli un pozitīvi, tad šis kvadrātpolinoms vienmēr ir Hurwitz polinoms.
Pozitīvas reālas funkcijas
Jebkura funkcija, kas ir formā F(s), tiks saukta par pozitīvu reālo funkciju, ja tā izpilda šos četrus svarīgus nosacījumus:
F(s) jādod reālas vērtības visām reālajām s vērtībām.
P(s) jābūt Hurwitz polinomam.
Ja mēs aizstājam s = jω, tad atdalot reālo un imagināro daļas, funkcijas reālā daļa jābūt lielākai vai vienādai ar nulli, t.i., tai jābūt nenegatīvai. Tas ir visvairāk izmantots nosacījums, lai noteiktu, vai funkcija ir pozitīva reāla vai nē.
Aizstājot s = jω, F(s) jābūt vienkāršiem poliem un atlikumiem jābūt reāliem un pozitīviem.
Pozitīvu reālu funkciju īpašības
Ir četras ļoti svarīgas pozitīvu reālu funkciju īpašības, un tās ir rakstītas zemāk:
Abi F(s) skaitītājs un saucējs jābūt Hurwitz polinomiem.
F(s) skaitītāja pakāpe nevar pārsniegt saucēja pakāpi vairāk nekā vienu vienību. Citādi sakot, (m-n) jābūt mazākam vai vienādam ar vienu.
Ja F(s) ir pozitīva reāla funkcija, tad F(s) apgrieztā vērtība arī jābūt pozitīvai reālai funkcijai.
Divu vai vairāku pozitīvu reālu funkciju summa arī ir pozitīva reāla funkcija, bet atņemšanas gadījumā tas var būt vai nebūt pozitīva reāla funkcija.
Šeit ir četri nepieciešamie, bet neietekmīgie nosacījumi, lai funkcija būtu pozitīva reāla funkcija, un tie ir rakstīti zemāk:
Polinoma koeficienti jābūt reāliem un pozitīviem.
F(s) skaitītāja pakāpe nevar pārsniegt saucēja pakāpi vairāk nekā vienu vienību. Citādi sakot, (m – n) jābūt mazākam vai vienādam ar vienu.
Imaginārās ass poli un nulles jābūt vienkāršiem.
