Síntesis de Red | Polinomio de Hurwitz | Funciones Real Positivas

Teoría de la Síntesis de Redes

Funciones de Red

La teoría de la síntesis de redes implica la síntesis de redes compuestas tanto por componentes activos (como resistencias) como por componentes pasivos (como inductores y capacitores).

Comencemos con lo básico: ¿qué es una función de red? En el dominio de la frecuencia, las funciones de red se definen como el cociente obtenido al dividir el fasor correspondiente a la salida del circuito por el fasor correspondiente a la entrada del circuito.

En palabras sencillas, las funciones de red son la relación entre el fasor de salida y el fasor de entrada cuando los fasores existen en el dominio de la frecuencia. La forma general de las funciones de red se da a continuación:

Ahora, con la ayuda de la función de red general anterior, podemos describir las condiciones necesarias para la estabilidad de todas las funciones de red. Hay tres condiciones principales necesarias para la estabilidad de estas funciones de red y se escriben a continuación:

1. El grado del numerador de F(s) no debe superar el grado del denominador en más de uno. En otras palabras, (m – n) debe ser menor o igual a uno.

2. F(s) no debe tener polos múltiples en el eje jω o en el eje y del diagrama de polos y ceros.

3. F(s) no debe tener polos en la mitad derecha del plano s.

Polinomio de Hurwitz

Si se cumplen todos los criterios de estabilidad (es decir, tenemos una función de red estable), entonces el denominador de F(s) se llama el polinomio de Hurwitz.

Donde, Q(s) es un polinomio de Hurwitz.

Propiedades de los Polinomios de Hurwitz

Hay cinco propiedades importantes de los polinomios de Hurwitz y se escriben a continuación:

1. Para todos los valores reales de s, el valor de la función P(s) debe ser real.

2. La parte real de cada raíz debe ser cero o negativa.

3. Consideremos que los coeficientes del denominador de F(s) son bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0. Se debe notar que bn, b(n-1), b0 deben ser positivos y bn y b(n-1) no deben ser iguales a cero simultáneamente.

4. La expansión en fracciones continuas de la parte par a la impar del polinomio de Hurwitz debe dar todos los términos de cociente positivos, si el grado par es mayor, o la expansión en fracciones continuas de la parte impar a la par del polinomio de Hurwitz debe dar todos los términos de cociente positivos, si el grado impar es mayor.

5. En el caso de un polinomio puramente par o puramente impar, debemos hacer la fracción continua con la derivada del polinomio puramente par o puramente impar, y el resto del procedimiento es el mismo que se menciona en el punto número (4).

A partir de la discusión anterior, concluimos un resultado muy simple: si todos los coeficientes del polinomio cuadrático son reales y positivos, entonces ese polinomio cuadrático siempre es un polinomio de Hurwitz.

Funciones Reales Positivas

Cualquier función que esté en la forma de F(s) se llamará una función real positiva si cumple estas cuatro condiciones importantes:

1. F(s) debe dar valores reales para todos los valores reales de s.

2. P(s) debe ser un polinomio de Hurwitz.

3. Si sustituimos s = jω, al separar la parte real e imaginaria, la parte real de la función debe ser mayor o igual a cero, es decir, debe ser no negativa. Esta es la condición más importante y la usaremos con frecuencia para determinar si la función es real positiva o no.

4. Al sustituir s = jω, F(s) debe poseer polos simples y los residuos deben ser reales y positivos.

Propiedades de las Funciones Reales Positivas

Hay cuatro propiedades muy importantes de las funciones reales positivas y se escriben a continuación:

1. Tanto el numerador como el denominador de F(s) deben ser polinomios de Hurwitz.

2. El grado del numerador de F(s) no debe superar el grado del denominador en más de uno. En otras palabras, (m-n) debe ser menor o igual a uno.

3. Si F(s) es una función real positiva, entonces el recíproco de F(s) también debe ser una función real positiva.

4. Recuerda que la suma de dos o más funciones reales positivas también es una función real positiva, pero en el caso de la diferencia, puede o no ser una función real positiva.

A continuación se presentan las cuatro condiciones necesarias, pero no suficientes, para que las funciones sean reales positivas, y se escriben a continuación:

1. Los coeficientes del polinomio deben ser reales y positivos.

2. El grado del numerador de F(s) no debe superar el grado del denominador en más de uno. En otras palabras, (m – n) debe ser menor o igual a uno.

3. Los polos y ceros en el eje imaginario deben ser simples.

4. Consideremos que los coeficientes del denominador de F(s) son bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0. Aquí se debe notar que bn, b(n-1), b0 deben ser positivos y b

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