Mrežna sinteza | Hurwitzov polinom | Pozitivne realne funkcije

Teorija mrežne sinteze

Mrežne funkcije

Teorija mrežne sinteze uključuje sintezu mreža sastavljenih od aktivnih komponenti (kao što su otpornici) i pasivnih komponenti (kao što su induktivnosti i kapacitansi).

Počnimo sa osnovama: šta je mrežna funkcija? U frekvencijskom domenu, mrežne funkcije definisane su kao količnik koji se dobija deljenjem fazora koji odgovara izlaznom toku struje fazorom koji odgovara ulaznom toku struje.

Jednostavnim rečima, mrežne funkcije predstavljaju omjer izlaznog fazora i ulaznog fazora kada fazori postoje u frekvencijskom domenu. Opšti oblik mrežnih funkcija dat je ispod:

Sada, pomoću gornjeg opštijeg oblika mrežne funkcije, možemo opisati neophodne uslove za stabilnost svih mrežnih funkcija. Postoji tri glavna neophodna uslova za stabilnost ovih mrežnih funkcija, i oni su navedeni ispod:

1. Stepen brojioca F(s) ne bi trebao prevaziti stepen imenioca za više od jedinice. Drugim rečima, (m – n) bi trebalo da bude manje ili jednako jedan.

2. F(s) ne bi trebalo da ima višestruke polove na jω-osi ili y-osi dijagrama polova i nula.

3. F(s) ne bi trebalo da ima polove na desnoj poluravni s-ravni.

Hurwitzov polinom

Ako su ispunjeni svi kriterijumi stabilnosti (tj. imamo stabilnu mrežnu funkciju), tada se imenioc F(s) naziva Hurwitzovim polinomom.

Gde je Q(s) Hurwitzov polinom.

Svojstva Hurwitzovih polinoma

Postoji pet važnih svojstava Hurwitzovih polinoma, i ona su navedena ispod:

1. Za sve realne vrednosti s, vrednost funkcije P(s) bi trebalo da bude realna.

2. Realni deo svakog korena bi trebalo da bude ili nula ili negativan.

3. Pretpostavimo da su koeficijenti imenioca F(s) bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0. Tada bi trebalo napomenuti da bn, b(n-1), b0 moraju biti pozitivni, a bn i b(n-1) ne bi trebalo da budu istovremeno nula.

4. Nastavni razvoj parnog u neparni deo Hurwitzovog polinoma bi trebalo da daje sve pozitivne količničke termine, ako je stepen paran veći, ili nastavni razvoj neparnog u parni deo Hurwitzovog polinoma bi trebalo da daje sve pozitivne količničke termine, ako je stepen neparan veći.

5. U slučaju čisto parnog ili čisto neparnog polinoma, moramo da uradimo nastavni razvoj derivacije čisto parnog ili čisto neparnog polinoma, a ostatak procedure je isti kao što je navedeno u tački broj (4).

Iz prethodnog razgovora zaključujemo jedan vrlo jednostavan rezultat, ako su svi koeficijenti kvadratnog polinoma realni i pozitivni, tada je taj kvadratni polinom uvek Hurwitzov polinom.

Pozitivne realne funkcije

Bilo koja funkcija oblika F(s) zove se pozitivna realna funkcija ako ispunjava ova četiri važna uslova:

1. F(s) bi trebalo da daje realne vrednosti za sve realne vrednosti s.

2. P(s) bi trebalo da bude Hurwitzov polinom.

3. Ako zamenimo s = jω, nakon odvajanja realnog i imaginarnog dela, realni deo funkcije bi trebalo da bude veći ili jednak nuli, što znači da bi trebalo da bude nenegativan. Ovo je najvažniji uslov i često ćemo ga koristiti kako bismo utvrdili da li je funkcija pozitivna realna ili ne.

4. Ako zamenimo s = jω, F(s) bi trebalo da ima jednostavne polove, a reziduumi bi trebalo da budu realni i pozitivni.

Svojstva pozitivnih realnih funkcija

Postoji četiri vrlo važna svojstva pozitivnih realnih funkcija, i ona su navedena ispod:

1. I brojilac i imenilac F(s) bi trebalo da budu Hurwitzovi polinomi.

2. Stepen brojioca F(s) ne bi trebao da prevaziđe stepen imenioca za više od jedinice. Drugim rečima, (m-n) bi trebalo da bude manje ili jednako jedan.

3. Ako je F(s) pozitivna realna funkcija, tada i recipročna vrednost F(s) bi trebalo da bude pozitivna realna funkcija.

4. Zapamtite da zbir dve ili više pozitivnih realnih funkcija takođe predstavlja pozitivnu realnu funkciju, ali u slučaju razlike to može biti ili ne mora biti pozitivna realna funkcija.

Sljedeći su četiri nužna, ali ne dovoljna uslova da funkcije budu pozitivne realne funkcije, i oni su navedeni ispod:

1. Koeficijenti polinoma moraju biti realni i pozitivni.

2. Stepen brojioca F(s) ne bi trebao da prevaziđe stepen imenioca za više od jedinice. Drugim rečima, (m – n) bi trebalo da bude manje ili jednako jedan.

3. Polovi i nule na imaginarnoj osi bi trebalo da budu jednostavni.

4. Pretpostavimo da su koeficijenti imenioca F(s) bn, b(n-1), b(n-2). . . . b

   Podrška