Sintesis Rangkaian | Polinomial Hurwitz | Fungsi Nyata Positif

Teori Sintesis Rangkaian

Fungsi Rangkaian

Teori sintesis rangkaian melibatkan sintesis rangkaian yang terdiri dari komponen aktif (seperti resistor) dan komponen pasif (seperti induktor dan kapasitor).

Mari kita mulai dengan dasar-dasar: apa itu fungsi rangkaian? Dalam domain frekuensi, fungsi rangkaian didefinisikan sebagai hasil bagi yang diperoleh dengan membagi fasa yang sesuai dengan output sirkuit oleh fasa yang sesuai dengan input sirkuit.

Dengan kata sederhana, fungsi rangkaian adalah rasio fasa output ke fasa input ketika fasa ada dalam domain frekuensi. Bentuk umum dari fungsi rangkaian diberikan di bawah ini:

Sekarang dengan bantuan fungsi rangkaian umum di atas, kita dapat menjelaskan syarat-syarat yang perlu untuk stabilitas semua fungsi rangkaian. Ada tiga syarat utama yang perlu untuk stabilitas fungsi-fungsi rangkaian ini dan mereka ditulis di bawah ini:

1. Derajat pembilang F(s) seharusnya tidak melebihi derajat penyebut lebih dari satu. Dengan kata lain (m – n) harus kurang dari atau sama dengan satu.

2. F(s) seharusnya tidak memiliki kutub ganda pada sumbu jω atau sumbu y dari plot kutub-nol.

3. F(s) seharusnya tidak memiliki kutub di setengah kanan bidang s.

Polinomial Hurwitz

Jika semua kriteria stabilitas terpenuhi (yaitu, kita memiliki fungsi rangkaian yang stabil) maka penyebut F(s) disebut polinomial Hurwitz.

Di mana, Q(s) adalah polinomial Hurwitz.

Sifat-sifat Polinomial Hurwitz

Ada lima sifat penting dari polinomial Hurwitz dan mereka ditulis di bawah ini:

1. Untuk semua nilai s yang real, nilai fungsi P(s) seharusnya real.

2. Bagian real dari setiap akar seharusnya nol atau negatif.

3. Mari kita pertimbangkan koefisien penyebut F(s) adalah bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0. Di sini perlu dicatat bahwa bn, b(n-1), b0 harus positif dan bn dan b(n-1) tidak boleh sama dengan nol secara bersamaan.

4. Ekspansi fraksi berkelanjutan dari bagian genap ke bagian ganjil dari polinomial Hurwitz seharusnya memberikan semua istilah hasil bagi yang positif, jika derajat genap lebih tinggi atau ekspansi fraksi berkelanjutan dari bagian ganjil ke bagian genap dari polinomial Hurwitz seharusnya memberikan semua istilah hasil bagi yang positif, jika derajat ganjil lebih tinggi.

5. Dalam kasus polinomial murni genap atau murni ganjil, kita harus melakukan fraksi berkelanjutan dengan turunan dari polinomial murni genap atau murni ganjil tersebut dan sisanya prosedurnya sama seperti yang disebutkan dalam poin nomor (4).

Dari diskusi di atas, kita menyimpulkan satu hasil yang sangat sederhana, Jika semua koefisien polinomial kuadratik adalah real dan positif, maka polinomial kuadratik tersebut selalu merupakan polinomial Hurwitz.

Fungsi Real Positif

Setiap fungsi yang berbentuk F(s) akan disebut fungsi real positif jika memenuhi empat syarat penting ini:

1. F(s) seharusnya memberikan nilai-nilai real untuk semua nilai s yang real.

2. P(s) seharusnya menjadi polinomial Hurwitz.

3. Jika kita substitusi s = jω maka pada pemisahan bagian real dan imajiner, bagian real dari fungsi tersebut seharusnya lebih besar dari atau sama dengan nol, artinya harus non negatif. Ini adalah syarat yang sangat penting dan kita akan sering menggunakan syarat ini untuk mengetahui apakah fungsi tersebut adalah real positif atau tidak.

4. Pada substitusi s = jω, F(s) seharusnya memiliki kutub sederhana dan residunya harus real dan positif.

Sifat-sifat Fungsi Real Positif

Ada empat sifat yang sangat penting dari fungsi real positif dan mereka ditulis di bawah ini:

1. Baik pembilang maupun penyebut F(s) seharusnya menjadi polinomial Hurwitz.

2. Derajat pembilang F(s) seharusnya tidak melebihi derajat penyebut lebih dari satu. Dengan kata lain (m-n) harus kurang dari atau sama dengan satu.

3. Jika F(s) adalah fungsi real positif maka kebalikan dari F(s) juga harus menjadi fungsi real positif.

4. Ingatlah bahwa penjumlahan dua atau lebih fungsi real positif juga merupakan fungsi real positif, tetapi dalam kasus pengurangan, mungkin atau mungkin bukan fungsi real positif.

Berikut adalah empat syarat yang perlu tetapi tidak cukup untuk fungsi menjadi fungsi real positif dan mereka ditulis di bawah ini:

1. Koefisien polinomial harus real dan positif.

2. Derajat pembilang F(s) seharusnya tidak melebihi derajat penyebut lebih dari satu. Dengan kata lain (m – n) harus kurang dari atau sama dengan satu.

3. Kutub dan nol pada sumbu imajiner harus sederhana.

4. Mari kita pertimbangkan koefisien penyebut F(s) adalah bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0. Di sini perlu dicatat bahwa bn, b(n-1), b

   Sumbangan