Nettverksyntese | Hurwitz-polynom | Positive reelle funksjoner

Teori for nettverkssyntese

Nettverksfunksjoner

Teorien for nettverkssyntese involverer syntesen av nettverk som består både av aktive komponenter (som motstander) og passive komponenter (som spoler og kondensatorer).

La oss begynne med grunnleggende: hva er en nettverksfunksjon? I frekvensdomenet er nettverksfunksjoner definert som kvoten som oppnås ved å dele fasoren som svarer til kretsinngangen med fasoren som svarer til kretsutgangen.

Med andre ord, nettverksfunksjoner er forholdet mellom utgangsfasoren og inngangsfasoren når fasorer eksisterer i frekvensdomenet. Den generelle formen for nettverksfunksjoner er gitt nedenfor:

Nå, med hjelp av den ovennevnte generelle nettverksfunksjonen, kan vi beskrive de nødvendige betingelsene for stabiliteten av alle nettverksfunksjonene. Det er tre hovednødvendige betingelser for stabiliteten av disse nettverksfunksjonene, og de er skrevet nedenfor:

1. Grad av telleren av F(s) bør ikke overstige graden av nevneren med mer enn én. Med andre ord, (m – n) bør være mindre eller lik ett.

2. F(s) bør ikke ha flere poler på jω-aksen eller y-aksen i pol-nullpunktplot.

3. F(s) bør ikke ha poler på høyre halvdel av s-planen.

Hurwitz-polynom

Hvis alle stabilitetskriteriene over er oppfylt (dvs. vi har en stabil nettverksfunksjon), kalles nevneren av F(s) for et Hurwitz-polynom.

Der Q(s) er et Hurwitz-polynom.

Egenskaper ved Hurwitz-polynom

Det er fem viktige egenskaper ved Hurwitz-polynom, og de er skrevet nedenfor:

1. For alle reelle verdier av s, bør funksjonens P(s) verdi være reell.

2. Den reelle delen av hver rot bør være enten null eller negativ.

3. La oss betrakte koeffisientene til nevneren av F(s) som bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0. Her bør det merkes at bn, b(n-1), b0 må være positive, og bn og b(n-1) bør ikke være lik null samtidig.

4. Den kontinuerlige brøkoppsplittingen av partall til oddetall del av Hurwitz-polynom bør gi alle positive kvotentermer, hvis partallsgraden er høyere, eller den kontinuerlige brøkoppsplittingen av oddetall til partall del av Hurwitz-polynom bør gi alle positive kvotentermer, hvis oddetallsgraden er høyere.

5. I tilfelle ren partall eller ren oddetall polynom, må vi gjøre en kontinuerlig brøkoppsplitting med derivasjonen av det ren partall eller ren oddetall polynomet, og resten av prosedyren er den samme som nevnt i punkt nummer (4).

Fra diskusjonen over konkluderer vi med et veldig enkelt resultat, hvis alle koeffisientene i kvadratisk polynom er reelle og positive, så er det kvadratiske polynomet alltid et Hurwitz-polynom.

Positive reelle funksjoner

Enhver funksjon som er i formen F(s) vil kalles en positiv reell funksjon hvis den oppfyller disse fire viktige betingelsene:

1. F(s) bør gi reelle verdier for alle reelle verdier av s.

2. P(s) bør være et Hurwitz-polynom.

3. Ved å erstatte s = jω, og ved å skille reelle og imaginære deler, bør den reelle delen av funksjonen være større enn eller lik null, altså ikke-negativ. Dette er det viktigste kravet, og vi vil ofte bruke dette kravet for å finne ut om funksjonen er positiv reell eller ikke.

4. Ved å erstatte s = jω, bør F(s) ha enkle poler, og residuene bør være reelle og positive.

Egenskaper ved positive reelle funksjoner

Det er fire viktige egenskaper ved positive reelle funksjoner, og de er skrevet nedenfor:

1. Både telleren og nevneren av F(s) bør være Hurwitz-polynom.

2. Graden av telleren av F(s) bør ikke overstige graden av nevneren med mer enn ett. Med andre ord (m-n) bør være mindre eller lik ett.

3. Hvis F(s) er en positiv reell funksjon, bør også reciproken av F(s) være en positiv reell funksjon.

4. Summen av to eller flere positive reelle funksjoner er også en positiv reell funksjon, men i tilfelle differansen kan den være det eller ikke være det.

Følgende er fire nødvendige, men ikke tilstrekkelige, betingelser for at funksjonene skal være positive reelle funksjoner, og de er skrevet nedenfor:

1. Koeffisientene i polynomet må være reelle og positive.

2. Graden av telleren av F(s) bør ikke overstige graden av nevneren med mer enn ett. Med andre ord (m – n) bør være mindre eller lik ett.

3. Poler og nullpunkter på den imaginære aksen bør være enkle.

4. La oss betrakte koeffisientene til nevneren av F(s) som bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0. Her bør det merkes at bn, b(n-