Síťová syntéza | Hurwitzův polynom | Pozitivně reálné funkce
Teorie síťové syntézy
Síťové funkce
Teorie síťové syntézy se zabývá syntézou sítí složených z aktivních (jako odpor) i pasivních komponent (jako cívky a kondenzátory).
Začněme s základy: co je síťová funkce? V frekvenčním oboru jsou síťové funkce definovány jako podíl fázorů odpovídajících výstupu obvodu dělený fázorem odpovídajícím vstupu obvodu.
Jinak řečeno, síťové funkce jsou poměr výstupního fázoru k vstupnímu fázoru, když fázory existují v frekvenčním oboru. Obecná forma síťových funkcí je uvedena níže:
Nyní pomocí výše uvedené obecné síťové funkce můžeme popsat nezbytné podmínky pro stabilitu všech síťových funkcí. Existuje tři hlavní nezbytné podmínky pro stabilitu těchto síťových funkcí a jsou uvedeny níže:
Stupeň čitatele F(s) by neměl překročit stupeň jmenovatele o více než jednu. Jinak řečeno (m – n) by mělo být menší nebo rovno jedné.
F(s) by nemělo mít více pólů na osě jω nebo y-ose pole-nulového grafu.
F(s) by nemělo mít póly v pravé polovině s-rovině.
Hurwitzův polynom
Pokud jsou splněny všechny podmínky stability (tj. máme stabilní síťovou funkci), pak jmenovatel F(s) se nazývá Hurwitzův polynom.
Kde Q(s) je Hurwitzův polynom.
Vlastnosti Hurwitzových polynomů
Existuje pět důležitých vlastností Hurwitzových polynomů a jsou uvedeny níže:
Pro všechny reálné hodnoty s hodnota funkce P(s) by měla být reálná.
Reálná část každého kořene by měla být buď nula nebo záporná.
Uvažujme, že koeficienty jmenovatele F(s) jsou bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0. Zde by mělo být poznamenáno, že bn, b(n-1), b0 musí být kladné a bn a b(n-1) neměly by být současně nulové.
Rozšíření do kontinuálního zlomku sudé části vzhledem k liché části Hurwitzova polynomu by mělo dávat všechny kladné kvocienty, pokud je stupeň sudé části vyšší, nebo rozšíření do kontinuálního zlomku liché části vzhledem k sudé části Hurwitzova polynomu by mělo dávat všechny kladné kvocienty, pokud je stupeň liché části vyšší.
V případě pouze sudého nebo pouze lichého polynomu musíme provést rozšíření do kontinuálního zlomku s derivací tohoto polynomu a zbytek postupu je stejný, jak je uvedeno v bodě číslo (4).
Z výše uvedené diskuse můžeme vyvodit velmi jednoduchý výsledek, Pokud jsou všechny koeficienty kvadratického polynomu reálné a kladné, pak tento kvadratický polynom je vždy Hurwitzův polynom.
Kladné reálné funkce
Jakákoli funkce ve formě F(s) bude nazývána kladnou reálnou funkcí, pokud splňuje tyto čtyři důležité podmínky:
F(s) by měla dávat reálné hodnoty pro všechny reálné hodnoty s.
P(s) by měla být Hurwitzův polynom.
Pokud dosadíme s = jω a oddělíme reálnou a imaginární část, pak reálná část funkce by měla být větší nebo rovna nule, tj. by měla být nezáporná. Toto je nejdůležitější podmínka a budeme ji často používat k určení, zda je funkce kladná reálná nebo ne.
Dosazením s = jω by měla F(s) mít jednoduché póly a rezidua by měla být reálná a kladná.
Vlastnosti kladných reálných funkcí
Existují čtyři velmi důležité vlastnosti kladných reálných funkcí a jsou uvedeny níže:
Oba čitatel i jmenovatel F(s) by měli být Hurwitzovy polynomy.
Stupeň čitatele F(s) by neměl překročit stupeň jmenovatele o více než jednu. Jinak řečeno (m-n) by mělo být menší nebo rovno jedné.
Pokud je F(s) kladná reálná funkce, pak její reciproka by také měla být kladná reálná funkce.
Součet dvou nebo více kladných reálných funkcí je také kladná reálná funkce, ale v případě rozdílu může být nebo nemusí být kladná reálná funkce.
Následující jsou čtyři nezbytné, ale nezpůsobující podmínky pro funkce, aby byly kladnými reálnými funkcemi, a jsou uvedeny níže:
Koeficienty polynomu musí být reálné a kladné.
Stupeň čitatele F(s) by neměl překročit stupeň jmenovatele o více než jednu. Jinak řečeno (m – n) by mělo být menší nebo rovno jedné.
Póly a nuly na imaginární ose by měly být jednoduché.
Uvažujme, že koeficienty jmenovatele F(s) jsou bn, b
