Network Synthesis | Hurwitz Polynomial | Positive Real Functions

Teorya sa Network Synthesis

Network Functions

Ang teorya sa network synthesis kasinlakip ang pag-synthesize sa mga network nga gihimo sa mga aktibo (tulad sa resistors) ug pasibo (tulad sa inductors ug capacitors) nga komponente.

Pasugdan ta sa mga basiko: ano ang network function? Sa frequency domain, network functions gitukod isip ang quotient gikan sa pag-divide sa phasor nga nagsangpot sa output sa circuit sa phasor nga nagsangpot sa input sa circuit.

Sa simple nga mga pulong, network functions mao ang ratio sa output phasor sa input phasor kung adunay mga phasor sa frequency domain. Ang general nga form sa network functions mahimong gihatag sa ubos:

Ngadto sa pagtabang sa uban pa sa general nga network function, mahimo natong ipahayag ang kinahanglan nga kondisyon alang sa estabilidad sa tanang network functions. Adunay tulo ka pangunehang kinahanglan nga kondisyon alang sa estabilidad sa mga network functions ug sila mao ang sumala sa ubos:

1. Ang degree sa numerator sa F(s) dili dapat moadto sa degree sa denominator ngadto sa mas daghan sa usa. Sa uban nga pulong (m – n) kinahanglan mas baba o parehas sa usa.

2. Ang F(s) dili dapat adunay multiple poles sa jω-axis o y-axis sa pole-zero plot.

3. Ang F(s) dili dapat adunay poles sa right half sa s-plane.

Hurwitz Polynomial

Kon adunay tanang stability criteria naabot (i.e. adunay stable network function) ang denominator sa F(s) gigikanan og Hurwitz polynomial.

Kung diin, Q(s) mao ang Hurwitz polynomial.

Properties of Hurwitz Polynomials

Adunay lima ka importante nga properties sa Hurwitz polynomials ug sila mao ang sumala sa ubos:

1. Alang sa tanang real nga values sa s value sa function P(s) kinahanglan real.

2. Ang real part sa tanang root kinahanglan zero o negative.

3. Pasabtanon nato ang coefficients sa denominator sa F(s) isip bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0. Dili dapat matugutan nga bn, b(n-1), b0 positive ug bn ug b(n-1) dili dapat mag-igual sa zero sama.

4. Ang continued fraction expansion sa even to the odd part sa Hurwitz polynomial kinahanglan mogive og tanang positive quotient terms, kon even degree mas taas o ang continued fraction expansion sa odd to the even part sa Hurwitz polynomial kinahanglan mogive og tanang positive quotient terms, kon odd degree mas taas.

5. Sa kasong purely even o purely odd polynomial, kinahanglan namo ang continued fraction sa derivative sa purely even o purely odd polynomial ug ang resto sa prosedura sama sa giingon sa point number (4).

Gikan sa uban nga diskusyon, nahuman ta og usa ka simple nga result, Kon tanang coefficients sa quadratic polynomial real ug positive, ang quadratic polynomial mao ang Hurwitz polynomial.

Positive Real Functions

Ang bisan unsang function nga sa form sa F(s) gigikanan og positive real function kon maabot ang apat ka importante nga conditions:

1. Ang F(s) kinahanglan mogive og real values alang sa tanang real values sa s.

2. Ang P(s) kinahanglan Hurwitz polynomial.

3. Kon substitute nato ang s = jω, sa pag-separate sa real ug imaginary parts, ang real part sa function kinahanglan mas taas o equal sa zero, means non negative. Kini usa ka importante nga condition ug gamiton nato niini para makita kung ang function mao ang positive real o dili.

4. Kon substitute nato ang s = jω, ang F(s) kinahanglan mogive og simple poles ug ang residues kinahanglan real ug positive.

Properties of Positive Real Function

Adunay upat ka importante nga properties sa positive real functions ug sila mao ang sumala sa ubos:

1. Ang numerator ug denominator sa F(s) kinahanglan Hurwitz polynomials.

2. Ang degree sa numerator sa F(s) dili dapat moadto sa degree sa denominator ngadto sa mas daghan sa usa. Sa uban nga pulong (m-n) kinahanglan mas baba o parehas sa usa.

3. Kon F(s) mao ang positive real function, ang reciprocal sa F(s) kinahanglan usab positive real function.

4. Ang summation sa duha o mas daghan pa nga positive real function mao usab positive real function pero sa kasong difference, mao o dili mao ang positive real function.

Sumala sa uban nga necessary pero dili sufficient nga conditions aron ang function maging positive real function, sila mao ang sumala sa ubos:

1. Ang coefficient sa polynomial kinahanglan real ug positive.

2. Ang degree sa numerator sa F(s) dili dapat moadto sa degree sa denominator ngadto sa mas daghan sa usa. Sa uban nga pulong (m – n) kinahanglan mas baba o parehas sa usa.

3. Ang poles ug zeros sa imaginary axis kinahanglan simple.

4. Pasabtanon nato ang coefficients sa denominator sa F(s) isip bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0.Dili dapat matugutan nga bn, b(n-1), b0 positive ug bn ug b

   Suporta