Синтез мереж | Поліном Гурвіца | Функції додатної дійсної частини

Теорія синтезу мереж

Функції мережі

Теорія синтезу мереж включає синтез мереж, складених як із активними компонентами (наприклад, резисторами), так і пасивними компонентами (наприклад, індуктивностями та конденсаторами).

Почнемо з основ: що таке функція мережі? У частотній області, функції мережі визначаються як частка, отримана шляхом ділення фазора, що відповідає вихідному сигналу цепи, на фазор, що відповідає входному сигналу цепи.

Простими словами, функції мережі — це співвідношення вихідного фазора до входного фазора, коли фазори існують у частотній області. Загальна форма функцій мереж подана нижче:

За допомогою вищезазначеного загального виразу для функції мережі, ми можемо описати необхідні умови стабільності всіх функцій мереж. Існує три основні необхідні умови для стабільності цих функцій мереж, і вони наведені нижче:

1. Ступінь чисельника F(s) не повинна перевищувати ступінь знаменника більше ніж на одиницю. Іншими словами, (m – n) повинна бути меншою або дорівнювати одному.

2. F(s) не повинна мати кратні полюси на осі jω або на осі y діаграми полюсів-нулей.

3. F(s) не повинна мати полюси в правій половині s-площини.

Многочлен Гурвіца

Якщо всі вищеназвані критерії стабільності виконуються (тобто, ми маємо стабільні функції мережі), то знаменник F(s) називається многочленом Гурвіца.

Де Q(s) — це многочлен Гурвіца.

Властивості многочленів Гурвіца

Існує п'ять важливих властивостей многочленів Гурвіца, і вони наведені нижче:

1. Для всіх дійсних значень s значення функції P(s) повинно бути дійсним.

2. Дійсна частина кожного кореня повинна бути або нуль, або від'ємна.

3. Нехай коефіцієнти знаменника F(s) це bn, b(n-1), b(n-2). . . . b0. Тут слід зауважити, що bn, b(n-1), b0 мають бути додатними, а bn і b(n-1) не повинні одночасно дорівнювати нулю.

4. Розширення продовженого дробу парної до непарної частини многочлена Гурвіца повинно давати всі додатні частки, якщо степінь парний вищий, або розширення продовженого дробу непарної до парної частини многочлена Гурвіца повинно давати всі додатні частки, якщо степінь непарний вищий.

5. У випадку чисто парного або чисто непарного многочлена, ми повинні провести продовження дробу з похідної від чисто парного або чисто непарного многочлена, а решта процедури така сама, як зазначено в пункті 4.

З вищезазначеної дискусії ми приходимо до одного дуже простого результату, якщо всі коефіцієнти квадратичного многочлена дійсні і додатні, то цей квадратичний многочлен завжди є многочленом Гурвіца.

Позитивні дійсні функції

Любая функція, яка має форму F(s), буде називатися позитивною дійсною функцією, якщо вона задовольняє ці чотири важливі умови:

1. F(s) повинна давати дійсні значення для всіх дійсних значень s.

2. P(s) повинна бути многочленом Гурвіца.

3. Якщо ми підставимо s = jω, то, розділивши дійсну та уявну частини, дійсна частина функції повинна бути більшою або дорівнювати нулю, тобто вона повинна бути невід'ємною. Це найважливіша умова, і ми часто будемо використовувати її, щоб визначити, чи є функція позитивною дійсною.

4. При підстановці s = jω, F(s) повинна мати прості полюси, а залишки повинні бути дійсними і додатними.

Властивості позитивних дійсних функцій

Існує чотири дуже важливі властивості позитивних дійсних функцій, і вони наведені нижче:

1. Обидва чисельник і знаменник F(s) повинні бути многочленами Гурвіца.

2. Ступінь чисельника F(s) не повинна перевищувати ступінь знаменника більше ніж на одиницю. Іншими словами, (m-n) повинна бути меншою або дорівнювати одному.

3. Якщо F(s) є позитивною дійсною функцією, то обернена до F(s) також повинна бути позитивною дійсною функцією.

4. Сума двох або більше позитивних дійсних функцій також є позитивною дійсною функцією, але у випадку різниці це може бути або не бути позитивною дійсною функцією.

Нижче наведені чотири необхідні, але не достатні умови для того, щоб функції були позитивними дійсними функціями:

1. Коефіцієнти многочлена повин